（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 极大值与极小值课件 苏

1．3.2极大值与极小值知识点一极值[探究发现]已知y＝f(x)的图象(如图)．问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．[必备知识]1．观察图(Ⅰ)中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调_______变为单调______________)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个_______．2．类似地，图(Ⅰ)中f(x2)为函数的一个_______．3．函数的极大值、极小值统称为函数的_______．递增递减极大值极小值极值知识点二极值与导数的关系[探究发现]观察图(Ⅰ)．问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.[必备知识]1．极大值与导数之间的关系如下表：xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)______0f′(x)____0f′(x)____0f(x)增极大值f(x1)减2．极小值与导数之间的关系如下表：xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)减极小值f(x2)增＝＝[提醒](1)极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．(2)函数的极值并不惟一(如图所示)．(3)极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)f(x1)．考点一求函数的极值[典例]求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnxx.[解](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值10极小值－22因此，函数f(x)的极大值为f(－1)＝10；极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2.令f′(x)＝0，解得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值1e因此函数f(x)的极大值为f(e)＝1e，没有极小值．[类题通法]1．求可导函数极值的三个步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)的值在方程f′(x)＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．两个注意点(1)不要忽视函数的定义域；(2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．[针对训练]1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值的个数为()A．1B．3C．4D．5解：选A由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，极小值为f(x2)．2．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极大值．解析：由题意知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，由f′(x)＞0得x＜0或x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2.所以f(x)在x＝0处取得极大值．答案：03．设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，故f′(x)＝ax－12x2＋32.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－12＋32＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2－2x－12x2＝3x＋1x－12x2.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13x2＝－13（x2＝－13不在定义域内，舍去）．当x∈(0,1)时，f′(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.考点二已知函数极值求参数[典例]已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解](1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，∵x＝±1是函数的极值点．∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得－2b3a＝0，①c3a＝－1.②又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．令f′(x)0，得x－1或x1；令f′(x)0，得－1x1.∴函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数．因此x＝－1是函数的极大值点，x＝1是函数的极小值点．[类题通法]已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[针对训练]1．如果函数y＝x3－3x2＋ax存在极值，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[3，＋∞)C．(－∞，3)D．(－∞，3]解析：选C由y＝x3－3x2＋ax可得y′＝3x2－6x＋a.因为函数y＝x3－3x2＋ax存在极值，所以3x2－6x＋a＝0有两个不同的解，所以Δ＝36－4×3×a＞0，解得a＜3，即实数a的取值范围是(－∞，3)，故选C.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则ab＝________.解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意可知：f′1＝0，f1＝10，即2a＋b＋3＝0，a2＋a＋b＋1＝10，得a＝4b＝－11或a＝－3，b＝3.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，易知在x＝1的左右两侧都有f′(x)＞0，即函数f(x)在R上是单调递增的，因此f(x)在x＝1处并不存在极值，故a＝4，b＝－11.ab＝－44.答案：－443．已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．解析：因为函数f(x)在(1,2)上有极值，则需函数f(x)在(1,2)上有极值点．法一：由f′(x)＝x2＋2x－2a＝0，得x1＝－1－1＋2a，x2＝－1＋1＋2a，因为x1∉(1,2)，因此则需1x22，即1－1＋1＋2a2，即41＋2a9，所以32a4，故实数a的取值范围为32，4.法二：f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此f′1＝3－2a0，f′2＝8－2a0，解得32a4，故实数a的取值范围为32，4.答案：32，4考点三函数极值的综合应用[典例]已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？[解](1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．[类题通法]极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．[针对训练]1．函数f(x)＝13x3－x2－3x＋9的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C对f(x)求导得f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)·(x－3)．令(x＋1)(x－3)＝0，可得x＝－1或x＝3，即函数f(x)有两个极值点－1和3，并且f(－3)＝－9－9＋9＋9＝0，f(－1)＝－13－1＋3＋9＞0，f(3)＝9－9－9＋9＝0.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,3)时，f′(x)＜0；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0，所以当x＝－1时函数f(x)取得极大值，当x＝3时函数f(x)取得极小值．所以f(x)的零点个数为2.故选C.2．已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a1＋x＋2x－10，所以f′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a＝16.(2)由(1)知，f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)．f′(x)＝2x2－4x＋31＋x，当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f′(x)0，当x∈(1,3)时，f′(x)0，所以f(x)的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21，所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)bf(1)．因此b的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9)．[课堂归纳领悟]根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．