（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的导数课件

1．2.3简单复合函数的导数[探究发现]已知函数f(x)＝sin2x＋π6，g(x)＝(3x＋2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？提示：函数g(x)＝(3x＋2)2是由g(u)＝u2，u＝3x＋2复合而成的．问题3：试求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的导数．提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3.问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g′(x)＝g′(u)·u′.[必备知识]若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝______________，即y′x＝_______.[提醒](1)求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．(2)利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．y′u·u′xy′u·a考点一复合函数的求导[典例]求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝e2x＋1；(4)y＝2x－1；(5)y＝sin3x－π4；(6)y＝cos2x.[解](1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝18x－12.(2)y′＝16x＋4·(6x＋4)′＝33x＋2.(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.(4)y′＝122x－1·(2x－1)′＝12x－1.(5)y′＝cos3x－π4·3x－π4′＝3cos3x－π4.(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.[类题通法]1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．[针对训练]1．若fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*)，f0(x)＝sin2x，则下列结论正确的序号是()A．f1(x)＝cos2xB．f2(x)＝－sin2xC．f1(x)＝2cos2xD．f2(x)＝4sin2x解析：选C因为fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*)，f0(x)＝sin2x，所以f1(x)＝2cos2x，f2(x)＝－4sin2x.2．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．解析：∵f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.答案：103．求下列函数的导数：(1)y＝e2x2＋3x；(2)y＝11－3x4.解：(1)y＝eu，u＝2x2＋3x，所以y′x＝y′u·u′x＝eu·(2x2＋3x)′＝eu·(4x＋3)＝(4x＋3)e2x2＋3x.(2)∵y＝11－3x4＝(1－3x)－4，∴可设y＝u－4，u＝1－3x，∵y′u＝－4u－5，u′x＝－3，∴y′x＝y′u·u′x＝－4u－5×(－3)＝12(1－3x)－5.考点二求导法则的综合应用[典例]求下列函数的导数．(1)y＝31－xsin(2x－1)；(2)y＝ln2x－12x－1.[解](1)y′＝(31－x)′sin(2x－1)＋31－x·[sin(2x－1)]′＝－31－xln3·sin(2x－1)＋31－x·2cos(2x－1)＝31－x[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln3]．(2)y′＝[ln2x－1]′·2x－1－ln2x－1·2x－1′2x－12＝22x－12x－1－ln2x－1·122x－1－12·22x－1＝22x－1－ln2x－12x－12x－1＝2－ln2x－12x－1·2x－1.[类题通法](1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．[针对训练]1．若函数f(x)＝cos12x－π4，则f′(3π)等于()A．－22B．－24C.22D.24解析：选D因为f′(x)＝－sin12x－π4·12x－π4′＝－12sin12x－π4，所以f′(3π)＝－12sin3π2－π4＝－12sin5π4＝24.2．求下列函数的导数：(1)y＝xln(x＋1)；(2)y＝sin22x＋2x＋1.解：(1)y′＝[xln(x＋1)]′＝x′ln(x＋1)＋xx＋1＝ln(x＋1)＋xx＋1.(2)y＝1－cos4x2＋2x＋1＝2x－12cos4x＋32，∴y′＝(2x)′－12(cos4x)′＋32′＝2x·ln2＋12sin4x·(4x)′＝2x·ln2＋2sin4x.考点三复合函数导数的应用[典例]已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝14相切，求a的值．[解]∵f′(x)＝a(x2)′＋2·12－x·(2－x)′＝2ax－22－x，∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln1＝a，∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，即2(a－1)x－y－a＋2＝0.∵直线l与圆C：x2＋y2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l的距离为12，所以有|2－a|4a－12＋1＝12，解得a＝118.∴a的值为118.[类题通法]有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．[针对训练]1．函数y＝xcos2x在点π4，0处的切线方程为()A．4πx＋16y－π2＝0B．4πx－16y－π2＝0C．4πx＋8y－π2＝0D．4πx－8y－π2＝0解析：选C∵y′＝cos2x－2xsin2x，∴切线方程的斜率k＝y′x＝π4＝－π2，∴切线方程为4πx＋8y－π2＝0.2．设函数f(x)＝x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1)，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，解不等式f′(x)＞g′(x)．解：因为f′(x)＝1＋1x－5，g′(x)＝1x－1，所以由f′(x)＞g′(x)，得1＋1x－5＞1x－1，即x－32x－5x－1＞0，所以x＞5或x＜1.又两个函数的定义域为x－5＞0，x－1＞0，即x＞5，所以不等式f′(x)＞g′(x)的解集为(5，＋∞)．3．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的解析式．解：(1)∵y＝e－x，∴y′＝(e－x)′＝－e－x，∴y′|x＝t＝－e－t.故切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，即x＋ety－(t＋1)＝0.(2)令y＝0得x＝t＋1.令x＝0得y＝e－t(t＋1)．∴S(t)＝12(t＋1)·e－t(t＋1)＝12(t＋1)2e－t(t≥0)．[课堂归纳领悟]求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求导．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．