（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 函数的和、差、积、商的

1．2.2函数的和、差、积、商的导数[探究发现]已知f(x)＝x，g(x)＝1x.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－1x2.问题2：若Q(x)＝x＋1x，则Q(x)的导数是什么？提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－x＋1x＝Δx＋－Δxxx＋Δx，∴ΔyΔx＝1－1xx＋Δx.当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于1－1x2，∴Q′(x)＝1－1x2.问题3：Q(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有什么关系？提示：Q′(x)＝f′(x)＋g′(x)．[必备知识]导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)，则(1)[f(x)＋g(x)]′＝____________________；(2)[f(x)－g(x)]′＝____________________；(3)[Cf(x)]′＝__________(C为常数)；(4)[f(x)·g(x)]′＝____________________；(5)fxgx′＝____________________(g(x)≠0)．f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)Cf(x)′f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′xg2x考点一求函数的导数[典例]求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝cosxx；(4)y＝xtanx.[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝(3x2＋x3)ex.(3)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.(4)y′＝(x·tanx)′＝xsinxcosx′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.[类题通法](1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．[针对训练]1．下列求导运算中正确的是()A.x＋1x′＝1＋1x2B．(lgx)′＝1xln10C．(lnx)′＝xD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：选Bx＋1x′＝1－1x2，故A错；(lnx)′＝1x，故C错；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错，故选B.2．若f(x)＝13x3＋2x＋1，则f′(－1)＝________.解析：f′(x)＝13x3＋2x＋1′＝13x3′＋(2x)′＋1′＝x2＋2，所以f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.答案：33．求下列函数的导数：(1)y＝lnxx＋1－2x；(2)y＝sinx－cosx2cosx.解：(1)y′＝lnxx＋1′－(2x)′＝1xx＋1－lnxx＋12－2xln2＝1＋1x－lnxx＋12－2xln2＝x－xlnx＋1xx＋12－2xln2.(2)y′＝sinx－cosx2cosx′＝sinx2cosx－12′＝sinx2cosx′＝2cos2x＋2sin2x4cos2x＝12cos2x.考点二导数运算法则的简单应用[典例]设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求a，b的值．[解]f′(x)＝(a·ex)′＋(blnx)′＝a·ex＋bx，由f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，得ae＋b＝e，ae－b＝1e，解得a＝1，b＝0，所以a，b的值分别为1,0.[类题通法]利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．[针对训练]1．已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝()A．2B．3C．4D．5解析：选C由题意，得f′(x)＝alnx＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)＝________，f(x)＝________.解析：由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋1x.所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1，所以f(x)＝－2x＋lnx.答案：－1－2x＋lnx3．若函数f(x)＝exx在x＝c(c≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．解：∵f(x)＝exx，∴f(c)＝ecc，又f′(x)＝ex·x－exx2＝exx－1x2，∴f′(c)＝ecc－1c2，依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴ecc＋ecc－1c2＝0，∴2c－1＝0得c＝12.考点三导数运算法则的综合应用[典例]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．[解]∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1.①∵y′＝2ax＋b，当x＝2时，y′＝4a＋b.∴4a＋b＝1.②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.[类题通法]关于函数导数的应用及其解决方法应用求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用方法先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用[针对训练]1．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为()A．1B.2C.22D.3解析：选B因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－1x＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝22＝2.故选B.2．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：易知抛物线y＝12x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，如图所示．且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.答案：－43．设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________.解析：由题意得f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得f′0＝0，f0＝1，即02－a·0＋b＝0，13×03－a2×02＋b·0＋c＝1，解得b＝0，c＝1.答案：01[课堂归纳领悟]1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．