（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数课件

1．1.2瞬时变化率——导数知识点一曲线上一点处的切线[探究发现]如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．问题2：割线PPn斜率是什么？提示：割线PPn的斜率是kn＝fxn－fx0xn－x0.问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？提示：能．[必备知识]1．割线设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．2．切线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q_________点P时，直线PQ最终就成为在点P处_________曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的_________．无限逼近最逼近切线知识点二瞬时速度与瞬时加速度[探究发现]一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为8－31＋Δt2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt.问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.[必备知识]1．平均速度运动物体的位移与_________的比称为平均速度．2．瞬时速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率St0＋Δt－St0Δt无限趋近于_________，那么_________称为物体在_________时的瞬时速度，也就是位移对于时间的__________________．所用时间一个常数这个常数t＝t0瞬时变化率3．瞬时加速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率vt0＋Δt－vt0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的__________________．瞬时变化率知识点三导数[必备知识]1．导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx__________________时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个_________，则称f(x)在x＝x0处_________，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作_________．无限趋近于0常数A可导f′(x0)2．导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点______________处的切线的_________．3．导函数(1)若f(x)对于区间(a，b)内_________都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是_________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作_________，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的_________．(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的_________．P(x0，f(x0))斜率任一点自变量xf′(x)导数函数值[提醒]函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．考点一求曲线上某一点处的切线[典例]已知曲线y＝x＋1x上的一点A2，52，用切线斜率定义求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．[解](1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋12＋Δx－2＋12＝－Δx22＋Δx＋Δx，∴ΔyΔx＝－Δx2Δx2＋Δx＋ΔxΔx＝－122＋Δx＋1.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于34，即点A处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y－52＝34(x－2)，即3x－4y＋4＝0.[类题通法]根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．[针对训练]1．曲线y＝－12x2－2在点P1，－52处的切线的斜率为________．解析：设P1，－52，Q1＋Δx，－121＋Δx2－2，则割线PQ的斜率为kPQ＝－121＋Δx2－2＋52Δx＝－12Δx－1.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，所以曲线y＝－12x2－2在点P1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解：设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－(1＋Δx))，则kAB＝31＋Δx2－1＋Δx－3×12－1Δx＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.考点二瞬时速度[典例]一质点按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．[解]因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔSΔt＝4a＋aΔt.当Δt无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于4a.所以t＝2s时的瞬时速度为4am/s.故4a＝8，即a＝2.[类题通法]要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量ΔS，再求出平均速度v－＝ΔSΔt，最后计算当Δt无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．[针对训练]1．质点的运动方程是s(t)＝1t2，则质点在t＝2时的速度为________．解析：因为ΔsΔt＝s2＋Δt－s2Δt＝12＋Δt2－14Δt＝－4＋Δt42＋Δt2，当Δt→0时，ΔsΔt→－14，所以质点在t＝2时的速度为－14.答案：－142．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a.解：∵s＝at2＋1，∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1.于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1－(4a＋1)＝4a·Δt＋a·(Δt)2.∴ΔsΔt＝4a·Δt＋a·Δt2Δt＝4a＋a·Δt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于4a.依据题意有4a＝12，∴a＝3.考点三导数及其应用[典例]已知f(x)＝x2－3.(1)求f(x)在x＝2处的导数；(2)求f(x)在x＝a处的导数．[解](1)因为ΔyΔx＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－3－22－3Δx＝4＋Δx，当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，所以f(x)在x＝2处的导数等于4.(2)因为ΔyΔx＝fa＋Δx－faΔx＝a＋Δx2－3－a2－3Δx＝2a＋Δx，当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.[类题通法]由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．[针对训练]1．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．解析：∵函数y＝f(x)＝x＋1x，∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx＋11＋Δx－1－1＝Δx21＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx1＋Δx，当Δx→0时，ΔyΔx→0，即y＝x＋1x在x＝1处的导数为0.答案：02．若点(0,1)在曲线f(x)＝x2＋ax＋b上，且f′(0)＝1，则a＋b＝________.解析：∵f(0)＝1，∴b＝1.又ΔyΔx＝f0＋Δx2－f0Δx＝Δx＋a.∴当Δx→0时，ΔyΔx→a，则f′(0)＝a＝1.所以a＋b＝1＋1＝2.答案：23．已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴切线的斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，该点为14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．[课堂归纳领悟]1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f′(x0)与f′(x)的异同区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值f′(x)f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值