（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义课

知识点一复平面的定义[探究发现]问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因为复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．[必备知识]建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做_________，y轴叫做_______，实轴上的点都表示_______；除_______外，虚轴上的点都表示纯虚数．[提醒](1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.实轴虚轴实数原点知识点二复数的几何意义[探究发现]已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量OZ→和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋bi与OZ→有何关系？提示：也是一一对应．[必备知识]1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ→，则OZ→的模叫做复数z的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝_________________.|a＋bi|＝a2＋b2知识点三复数加减法的几何意义[探究发现]如图OZ1→、OZ2→分别与复数a＋bi，c＋di对应．问题1：试写出OZ1→、OZ2→及OZ1→＋OZ2→、OZ1→－OZ2→的坐标．提示：OZ1→＝(a，b)，OZ2→＝(c，d)，OZ1→＋OZ2→＝(a＋c，b＋d)，OZ1→－OZ2→＝(a－c，b－d)．问题2：向量OZ1→＋OZ2→及OZ1→－OZ2→所对应的复数分别是什么？提示：(a＋c)＋(b＋d)i及(a－c)＋(b－d)i.[必备知识]1．复数加法的几何意义设向量OZ1→，OZ2→分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且OZ1→和OZ2→不共线．如图，以OZ1→，OZ2→为邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则其对角线OZ所表示的向量OZ→就是复数___________________对应的向量．(a＋c)＋(b＋d)i2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设OZ1→，OZ2→分别与复数a＋bi，c＋di相对应，且OZ1→，OZ2→不共线，如图．则这两个复数的差z1－z2与向量__________(等于_______)对应，这就是复数减法的几何意义．OZ1→－OZ2→Z2Z1→3．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝_______________，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的_______．a－c2＋b－d2距离考点一复数的几何意义[典例]实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上？[解]因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．若已知复数z＝a＋bi，则当a＜0，且b＜0时，复数z对应的点在第三象限；当a＞0，且b＜0时，复数z对应的点在第四象限；当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．(1)当实数x满足x2＋x－6＜0，x2－2x－15＜0，即－3＜x＜2时，点Z在第三象限．(2)当实数x满足x2＋x－6＞0，x2－2x－15＜0，即2＜x＜5时，点Z在第四象限．(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．[类题通法]按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．[针对训练]1．复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D∵z＝2－i2＋i＝2－i22＋i2－i＝35－45i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标是35，－45，在第四象限，故选D.2．求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上．解：(1)由题意，知m2－8m＋150，m2＋3m－280，解得m3或m5，－7m4.即－7m3.故当－7m3时，复数z的对应点位于第四象限．(2)由题意，知m2－8m＋150，①m2＋3m－28＝0，②由②得m＝－7或m＝4.因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①，所以m＝4.故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上．考点二复数模及其几何意义的应用[典例]已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.(1)求|z1|及|z2|的值并比较它们的大小；(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点z的集合是什么图形．[解](1)|z1|＝|3－i|＝32＋－12＝2，|z2|＝－12＋32i＝－122＋322＝1，所以|z1|＞|z2|.(2)由(1)知1≤|z|≤2，因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[类题通法](1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．[针对训练]1．已知0a3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A．(1，10)B．(1，3)C．(1,3)D．(1,10)解析：选A∵0a3，z＝a＋i，∴|z|＝a2＋1∈(1，10)．2．已知复数z＝a＋3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于()A．－1＋3iB．1＋3iC．－1＋3i或1＋3iD．－2＋3i解析：选A因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，由|z|＝2知，a2＋32＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋3i.3．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．解析：法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，则|z|＝－12＋32＝10.法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10.答案：104．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解：法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ→的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．考点三复数加减运算的几何意义[典例]已知▱OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数．[解](1)AO→＝－OA→，故AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA→＝OA→－OC→，故CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，故OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.[类题通法](1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．[针对训练]1．向量OZ1→对应的复数是5－4i，向量OZ2→对应的复数是－5＋4i，则OZ1→＋OZ2→对应的复数是()A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i解析：选C由复数的几何意义，可得OZ1→＝(5，－4)，OZ2→＝(－5,4)，所以OZ1→＋OZ2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ1→＋OZ2→对应的复数为0.2．在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，AD→＝AB→＋AC→，即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.[课堂归纳领悟]1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ→相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．