(江苏专用)2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算

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第一课时复数的加减与乘法运算知识点一复数的加减法[探究发现]已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).问题1:多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减?提示:两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).问题2:复数的加法满足交换律和结合律吗?提示:满足.[必备知识]1.复数的加法、减法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+bi)+(c+di)=__________________,z1-z2=(a+bi)-(c+di)=__________________.即两个复数相加(减)就是把____________、____________分别相加(减).2.复数加法的运算律(1)交换律:z1+z2=_________;(2)结合律:(z1+z2)+z3=_________.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i实部与实部虚部与虚部z2+z1z1+(z2+z3)知识点二复数的乘法[探究发现]设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).问题1:如何规定两复数相乘?提示:两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.即z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.问题2:试验复数乘法的交换律.提示:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,z2z1=(c+di)(a+bi)=(ac-bd)+(bc+ad)i.故z1z2=z2z1.[必备知识]1.复数的乘法设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=__________________(a,b,c,d∈R).2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有交换律z1·z2=________结合律(z1·z2)·z3=________乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=________(ac-bd)+(ad+bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2+z1z3[提醒]复数的乘法与多项式的乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部,虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数.知识点三共轭复数[探究发现]问题:复数3+4i与3-4i,a+bi与a-bi(a,b∈R)有什么特点?提示:两复数的实部相等,虚部互为相反数.[必备知识]1.把实部________,虚部________________的两个复数叫做互为共轭复数.2.复数z=a+bi的共轭复数记作z,即z=a-bi.3.当复数z=a+bi的虚部b=0时,z=z,也就是说,实数的共轭复数仍是________________.相等互为相反数它本身考点一复数的加减运算[典例]计算:(1)(3+5i)+(3-4i);(2)(-3+2i)-(4-5i);(3)(5-5i)+(-2-2i)-(3+3i).[解](1)(3+5i)+(3-4i)=(3+3)+(5-4)i=6+i.(2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i.(3)(5-5i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+[-5+(-2)-3]i=-10i.[类题通法]复数加减运算法则的记忆方法(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.[针对训练]1.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4解析:选A由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故b+4=0,a+3=0,4-b≠0,解得a=-3,b=-4.2.若(1+i)-z=-2+3i,则z=________.解析:z=(1+i)-(-2+3i)=[1-(-2)]+(1-3)i=3-2i.答案:3-2i考点二复数的乘法[典例]计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.[解](1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.[类题通法](1)三个或三个以上的复数相乘,可按从左向右的顺序运算,或利用结合律运算.混合运算的顺序与实数的运算顺序一样.(2)平方差公式,完全平方公式等在复数范围内仍然成立.一些常见的结论要熟悉:i2=-1,(1±i)2=±2i.[针对训练]1.(1+i)(2+i)=________.解析:(1+i)(2+i)=2+i2+3i=1+3i.答案:1+3i2.设复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位).若z=(4+3i)i,则ab的值是______.解析:因为z=a+bi且z=(4+3i)i,所以a+bi=4i+3i2=-3+4i,所以a=-3,b=4,所以ab=-12.答案:-123.计算下列各题.(1)(1+i)2;(2)(-1+3i)(3-4i);(3)(1-i)-12+32i(1+i).解:(1)(1+i)2=1+2i+i2=2i.(2)(-1+3i)(3-4i)=-3+4i+9i-12i2=9+13i.(3)法一:(1-i)-12+32i(1+i)=-12+32i+12i-32i2(1+i)=3-12+3+12i(1+i)=3-12+3+12i+3-12i+3+12i2=-1+3i.法二:原式=(1-i)(1+i)-12+32i=(1-i2)-12+32i=2-12+32i=-1+3i.考点三共轭复数的概念[典例]已知z∈C,z为z的共轭复数,若z·z-3iz=1+3i,求z.[解]设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi(a,b∈R),由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有a2+b2-3b=1,-3a=3,解得a=-1,b=0或a=-1,b=3,所以z=-1或z=-1+3i.[类题通法](1)实数的共轭复数是它本身,即z∈R⇔z=z,利用此性质可以证明一个复数是实数.(2)若z≠0且z+z=0,则z为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数.[针对训练]1.设复数z满足z+i=3-i,则z=______.解析:由z+i=3-i得,z=3-2i,所以z=3+2i.答案:3+2i解析:设z=a+bi,则z=a-bi.∴(1+2i)(a-bi)=4+3i,∴a-bi+2ai+2b=4+3i,即(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,∴a+2b=4,2a-b=3,解之得a=2,b=1.∴z=2+i.2.复数z满足(1+2i)z=4+3i,则z=________.答案:2+i3.已知复数z=1+i,求实数a,b使az+2bz=(a+2z)2成立.解:∵z=1+i,∴az+2bz=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.∵a,b都是实数,∴由az+2bz=(a+2z)2,得a+2b=a2+4a,a-2b=4a+2.两式相加,整理得a2+6a+8=0.解得a1=-2,a2=-4,对应得b1=-1,b2=2.∴所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.[课堂归纳领悟]1.复数的加减运算把复数的代数形式z=a+bi看作关于“i”的多项式,则复数的加法、减法运算,类似于多项式的加法、减法,只需要“合并同类项”就行,不需要记加、减法法则.2.复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.

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