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第3章数系的扩充与复数的引入(选修2－2)知识点一复数的概念及代数表示法[探究发现]问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和12.问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有解．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解，x＝i.问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？提示：C＝{a＋bi|a，b∈R}．[必备知识]1．虚数单位i我们引入一个新数i，叫做____________，并规定：(1)i2＝____.(2)________可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数的概念形如________(a，b∈R)的数叫做复数．________所组成的集合叫做复数集，记作C.虚数单位－1实数a＋bi全体复数[提醒]注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．3．复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z＝________________，其中a与b分别叫做复数z的________与________．a＋bi(a，b∈R)实部虚部知识点二复数的分类[探究发现]问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？提示：当b＝0时，z＝a为实数．问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，z是什么数？提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b≠0，z＝bi为纯虚数．[必备知识]1．复数z＝a＋bi实数_____，虚数_____，当_____时为纯虚数.2．两个复数相等的充要条件是它们的________和________分别相等．b＝0b≠0a＝0实部虚部考点一复数的概念及分类[典例](1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)当m为何实数时，复数z＝m2－m－6m＋3＋(m2－2m－15)i.①是虚数；②是纯虚数．[解析](1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－10，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.[答案]B(2)①当m＋3≠0，m2－2m－15≠0，即m≠5且m≠－3时，z是虚数．②当m2－m－6m＋3＝0，m2－2m－15≠0，即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．[类题通法]复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.[针对训练]1．若A，B，C分别表示复数集，实数集和纯虚数集，则()A．A＝B∪CB．B∪C＝{0}C．B＝A∩CD．B∩C＝∅解析：选D复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．所以B∩C＝∅，故选D.2．设a∈R，且a＋2i2为正实数，则a的取值范围是________．解析：a＋2i2＝a－2为正实数，∴a－2＞0，则a＞2.答案：(2，＋∞)3．实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是(1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数，则m2－2m－2＝1，m2＋3m＋2≠0，所以m＝3或m＝－1，m≠－2且m≠－1，所以m＝3.即m＝3时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数．(2)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数，则m2－2m－20，①m2＋3m＋2＝0，②解②得m＝－2或m＝－1，代入①检验知满足不等式，所以当m＝－2或m＝－1时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数．考点二复数相等的充要条件[典例]已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．[解]∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，且M∪P＝P.∴MP，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.∴m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，或m2－2m＝0，m2＋m－2＝4.∴m＝1或m＝2.[类题通法](1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．[针对训练]1．已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则m的值是()A．－112B.112C．－12D.12解析：选B由题意得x20－(2i－1)x0＋3m－i＝0，因为x0是实数，所以x20＋x0＋3m＋(－2x0－1)i＝0，即x20＋x0＋3m＝0，－2x0－1＝0，解得x0＝－12，m＝112.2．已知集合M＝{1,2，m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i}，N＝{3i}，且M∩N≠∅，则实数m的值为________．解析：∵M∩N≠∅，∴m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i＝3i，答案：－23．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．解：设n＝bi(b∈R且b≠0)，由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，∴2m＝4，b＝3－m.∴m＝2，b＝1.∴m的值为2，n的值为i.考点三复数概念的综合应用[典例]若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．[解]∵m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10，∴m2－3m＝0，m2－4m＋3＝0，m210.解上式得：m＝3.[类题通法]不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．[针对训练]1．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的值为________．解析：log2x2＋2x＋1＝0，log2x2－3x－2＞1，∴x＝－2.答案：－22．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z0，求实数k.解：∵z0，∴z∈R.∴k2－5k＋6＝0.∴k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．当k＝2时，z＝－20符合题意．∴k＝2.[课堂归纳领悟]1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a＋bi0(a，b∈R)⇔a0，b＝0.