（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2.6 正态分布课件 苏教版选修2-3

2．6正态分布[必备知识]1．概率密度曲线对于某一随机变量的频率分布直方图，若数据无限______且组距无限__________，那么频率分布直方图上的频率折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．增多缩小2．正态密度曲线函数表达式P(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R，其中实数μ(μ∈R)和σ(σ0)为参数图象的特征(1)当x＜μ时，曲线__________；当x＞μ时，曲线__________．当曲线向左右两边无限延伸时，以______为渐近线(2)正态曲线关于直线__________对称(3)σ越________，正态曲线越扁平；σ越________，正态曲线越尖陡(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1上升下降x轴x＝μ大小3．正态分布若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(aX≤b)恰好是____________________和____________________所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为____________________．4．标准正态分布正态分布__________称为标准正态分布．正态密度曲线下方x轴上(a，b]上方X～N(μ，σ2)N(0,1)5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%；落在区间P(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%；落在区间P(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.6．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于__________，这就是中心极限定理．正态分布7．正态密度曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“尖陡”；σ越大，曲线越“扁平”，如图②.考点一正态分布和正态密度曲线的概念[典例]如图所示，是一个正态密度曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出随机变量的数学期望和方差．[解]从给出的正态密度曲线可知，该正态密度曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e－x－2024，x∈(－∞，∞)．随机变量的数学期望是μ＝20，方差是σ2＝22＝2.[类题通法]利用图象求正态密度曲线的方程．关键是确定μ，σ.结合图象，利用正态密度曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求出μ，σ.相应参数确定了，代入f(x)＝12πσe－x－μ22σ2即可．[针对训练]1．下列函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝12πσex－μ22σ，μ，σ(σ0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22C．f(x)＝122πe－x－124D．f(x)＝12πex22解析：选B本题考查正态密度函数，可对照f(x)＝12π·σe－x－μ22σ2，其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．A有两处错误，分别是2π·σ错为2πσ，指数错为正数．C从系数可得σ＝2，从而指数处可得σ＝2，显然不符．D中指数为正，错误．2．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．考点二正态密度曲线的性质[典例]关于正态曲线φ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，σ0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．[解析]根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．[答案]①③⑥⑦[类题通法]解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图象理解并掌握．[针对训练]1．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图所示．则下列结论正确的是()A．μ1μ2，σ1σ2B．μ1μ2，σ1σ2C．μ1μ2，σ1σ2D．μ1μ2，σ1σ2解析：选A当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“扁平”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中，这个性质可直接判断．由正态曲线性质知μ1μ2，σ1σ2.2．标准正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1与p2的大小关系为________．解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，故在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率相等，即p1＝p2.答案：p1＝p2考点三利用标准正态分布表求概率[典例]若随机变量X～N(0,1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X≤1.26)；(2)P(X1.26)；(3)P(0.51X≤3.2)；(4)P(X≤－2.1)．[解](1)P(X≤1.26)＝0.8962.(2)P(X1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.8962＝0.1038.(3)P(0.51X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.8849－0.6950＝0.1899.(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.9821＝0.0179.[类题通法]由于标准正态分布表是针对X≥0设计的，若X0，则须转换再查表，在查表前，可画个草图将所求的概率进行转化，然后再查表．[针对训练]1．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X8)＝0.4则P(X0)＝________.解析：∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(X8)＝0.4，∴P(X0)＝P(X8)＝0.4.答案：0.42．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，则P(X≤4)等于________．解析：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，所以P(X≤3)＝0.5，P(X≤2)＝0.2＝P(X4)，所以P(X≤4)＝1－P(X4)＝1－0.2＝0.8.答案：0.8[课堂归纳领悟]1．求随机变量的正态密度函数时，只需求出μ，σ即可，也就是求出样本的均值及标准差．2．在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称性．