（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2.1 随机变量及其概率分布课件 苏教版选

第2章概率(选修2－3)知识点一随机变量[探究发现]1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X.问题1：X取什么数字？提示：X＝0,1,2，…，10.2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上．3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球．问题3：若用X表示所含红球个数，则X的取值是什么？提示：X＝0,1,2,3,4.[必备知识]1．随机变量的定义一般地，如果___________的结果，可以用一个________来表示，那么这样的变量叫做___________．2．随机变量的表示方法(1)随机变量通常用大写拉丁字母___________(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．(2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母___________(加上适当下标)等表示．随机试验变量随机变量X，Y，Zx，y，z知识点二随机变量的概率分布[探究发现]1．抛掷一个骰子，用X表示骰子向上一面的点数．问题1：X的可能取值是什么？提示：X＝1,2,3,4,5,6.问题2：X取不同值时，其概率分别是多少？提示：都等于16.2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码．问题3：随机变量的可能取值是什么？提示：X＝3,4,5.问题4：试求X取不同值的概率．提示：P(X＝3)＝C33C35＝110；P(X＝4)＝C23C35＝310；P(X＝5)＝C24C35＝610＝35.问题5：试用表格表示X和P的对应关系．提示：X345P110310610问题6：试求概率和．提示：其和等于1.[必备知识]1．随机变量X的分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1,2，…，n)满足条件pi_____0，p1＋p2＋…＋pn＝___.≥12．0－1分布(或两点分布)随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为___________分布或____________，此处“～”表示“___________”．X～0－1X～两点分布服从考点一随机变量的概念[典例]判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64cm3的正方体的棱长．[解](1)被抽取卡片的号数可能是1,2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机的，故是随机变量．(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64cm3的正方体棱长为4cm为定值，不是随机变量．[类题通法](1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．[针对训练]1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选D由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；(3)某个人的属相．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1,2,3,4,5,6，因此是随机变量．(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量．考点二随机变量的取值[典例]写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．[解析](1)Y的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1,1)；{Y＝3}表示(1,2)，(2,1)；{Y＝4}表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；{Y＝12}表示(6,6)．(2)Y的可能取值为0,1,2,3,4,5.{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．[类题通法]解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．[针对训练]1．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为()A．X＝4B．X＝5C．X＝6D．X≤4解析：选C第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.2．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X；(2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡号数之和为X.解：(1)X的所有可能的取值为0,1,2，其中，X＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔；X＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔；X＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔；X＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔；(2)X可取3,4,5,6,7.其中，X＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．考点三随机变量的分布列及其应用[典例]袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．[解]随机变量X可取的值为2,3,4，P(X＝2)＝C12C13C12C15C14＝35；P(X＝3)＝A22C13＋A23C12C15C14C13＝310；P(X＝4)＝A33C12C15C14C13C12＝110；所以随机变量X的概率分布列为：X234P35310110[类题通法]随机变量的分布列的作用对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．[针对训练]1．下表是随机变量X的概率分布，则常数a的值为()X0123Pa161314A.14B.13C.12D.16解析：选A根据随机变量概率分布的特征可得a＋16＋13＋14＝1，解得a＝14，故选A.2．设随机变量X概率分布PX＝k5＝ak(k＝1,2,3，4,5)．(1)求常数a的值；(2)求PX≥35；(3)求P110＜X＜710.解：由题意知随机变量X的概率分布如下表：X1525354555Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋PX＝55＝315＋415＋515＝45，或PX≥35＝1－PX≤25＝1－115＋215＝45.(3)因为110＜X＜710，所以X＝15，25，35.故P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.[课堂归纳领悟]1．随机变量的三个特征(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．(1)随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．