跳跃-发散与随机波动模型之选择权最适避险策略

跳躍-發散與隨機波動模型之選擇權最適避險策略-快速傅立葉轉換之應用涂登才劉祥熹陳菁華廖志偉****摘要Black-Scholes模型存在假設選擇權之標的資產為對數常態分配及假設波動率隨時間經過並不會改變之兩個主要缺陷。因此，為改良Black-Scholes模型之缺陷、加快選擇權評價速度以及使買權價格函數為一平方可積函數等目的，本研究嘗試利用快速傅立葉轉換為媒介於Merton(1976)跳躍-發散模型、Heston(1993)隨機波動模型及Bates(1996)跳躍-發散與隨機波動之混合模型等三種修正模型，以進行臺指選擇權評價，並建構運用於不同商品下之選擇權避險策略。本研究於現貨商品避險方面，臺指價內買權或賣權避險策略運用以Delta中立避險效果較佳；股價波動幅度較大之價平及價外選擇權則以採用Delta-Gamma中立避險策略較為合適。再者，隨著避險區間之增長，各模型與策略之避險績效愈佳。至於衍生性商品避險方面，最小避險風險法大抵而言顯著相對優於最適CVaR避險策略，且整體而言信賴水準愈高的最適CVaR避險策略其避險績效愈佳。最後，本研究實證結果顯示在探討理論價格與實際價格之評價誤差時，模型假設的放寬將可以降低其評價誤差，但於進行實際避險時則模型假設的放寬卻較無助於增加其避險績效，反而是一個較佳的避險策略將可大幅有效增加其避險績效。關鍵字：跳躍-發散、隨機波動、快速傅立葉轉換、Delta-Gamma中立避險、條件風險值避險銘傳大學財務金融學系副教授台北大學國際企業研究所教授兼所長銘傳大學財務金融學系碩士****銘傳大學財務金融學系研究生OptimalOptionHedgingStrategywithFastFourierTransforminJumpDiffusionandStochasticVolatilityModelsTeng-TsaiTuHsiang-HsiLiu**Jing-HuaCheng***Chih-WeiLiao****AbstractTwomajordisadvantagesintheconventionalBlack-Scholesmodelincludethattheunderlyingassetfollowsthelognormaldistributionandthatvolatilityofunderlyingassetdoesnotvaryovertime.Toovercomethesedisadvantages,speedupoptionvaluationandobtaincallpricingfunctionbeasquare-integrablefunction,thisstudyemploysfastFouriertransforminthreemodifiedcalloptionvaluationmodels,i.e.,thejump-diffusion(Merton)model,stochasticvolatility(Heston)model,andstochasticvolatilitywithjump(SVJ,Bates)model.TheempiricalresultsofoptionhedgingonspotmarketindicatethattheDeltaNeutralstrategyofhedgingin-the-moneyTAIEXoptionsobtainsbetterhedgingeffectiveness.Whenat-the-moneyandout-of-the-moneyTAIEXoptionswithlargevolatilityareusedashedginginstruments,Delta-GammaNeutralstrategyobtainsbetterhedgingeffectiveness.Moreover,thehedgingeffectivenessofvariousmodelsandstrategiesincreasesashedginghorizonincreases.Astooptionshedgingonderivativeassets,thehedgingeffectivenessofminimizinghedgeriskoutperformedthatofoptimalConditionalVaRhedge.Thehighertheconfidentlevel,thehigherthehedgingeffectivenessofoptimalConditionalVaRHedge.Keywords:Jump-Diffusion;StochasticVolatility;FastFourierTransform;Delta-GammaNeutral;ConditionalVaRHedgeDepartmentofFinance,MingChuanUniversity**GraduateInstituteofInternationalBusiness,NationalTaipeiUniversity***DepartmentofFinance,MingChuanUniversity****DepartmentofFinance,MingChuanUniversity1壹、緒論1973年芝加哥選擇權交易所（ChicagoBoardOptionsExchanges，簡稱CBOE）成立後開始了選擇權上市交易。國內臺指選擇權則於民國90年12月24日開啟我國另一種新金融商品的交易。隨著選擇權交易的蓬勃發展，許多學者紛紛針對標的物之資訊進行檢視，並提出不同選擇權評價模型。其中以1973年Black-Scholes將含截距項與波動項之韋納過程（Wienerprocess）延伸發展成之選擇權評價模型最為知名。然而傳統Black-Scholes模型卻存在設定上之缺陷，如標的資產報酬率為對數常態分配與波動率固定不變等缺陷。因此，有些學者推論股票報酬分配應是數種隨機過程的組合，如Merton(1976)跳躍-發散模型係藉由增加跳躍-發散過程，延伸傳統Black-Scholes模型以捕捉大且難以發生之事件。Heston(1993)隨機波動模型主要改良部分為假設存在一獨立不確定來源驅動標的資產之波動，可以捕捉微小且經常性之市場移動。Bates(1996)跳躍-發散與隨機波動之混合模型則是結合Merton與Heston模型。此外，除了檢視標的資產之資訊外，近年來許多學者亦以一種藉由資產在未確定分配下，利用其資產波動性模擬出資產價值之傅立葉轉換與快速傅立葉轉換技術來成功地規避假設標的資產為對數常態分配之缺陷。其中快速傅立葉轉換相對於傅立葉轉換除了具有計算速度上之優點外，藉由快速傅立葉轉換更使得買權價格函數為一平方可積函數，在積分交換位置後即可進一步進行買權價格之簡單計算。由於衍生性金融商品皆具有高槓桿與高風險之特性，若操作不當，極可能產生巨大的虧損。因此，對身處於瞬息萬變的金融環境下之投資者而言，遂需要一有效之避險策略以規避其所承擔之風險部位。一般而言，選擇權避險策略可依避險標的之不同而區分為現貨部位避險及衍生性商品部位避險。實務上進行選擇權對現貨部位避險，大部分係採用動態調整部位之Delta中立避險或加入非線性考量之Delta-Gamma中立避險。至於選擇權對衍生性商品部位避險係指運用一個選擇權組合規避一個選擇權或一個選擇權組合之風險。一般常使用最小避險風險2法（MinimizeHedgeRisk）來達到極小化衍生性商品之避險組合風險。再者，避險即是降低風險，因此風險值(CVaR)概念的提出正可滿足此一需求。綜合以上所述，本研究擬利用快速傅立葉轉換為評價媒介，並針對跳躍-發散、隨機波動及跳躍-發散與隨機波動之混合模型，以建構對現貨商品之Delta中立避險、Delta-Gamma中立避險以及對衍生型商品之最小避險風險法、最適CVaR避險等選擇權避險策略，且進行不同避險策略於五日、十日及二十日避險區間下之績效評估，並提供投資人最佳避險之選擇權評價模型以及最適選擇權避險策略等相關資訊。貳、文獻回顧近代最早對於選擇權評價理論發展起源於Bachelier(1900)之研究，其提出利用含截距項與波動項之算術布朗運動來模擬股票價格。之後Samuelson(1965)進一步將Bachelier(1900)之模型指數化，使得負價格結果不存在。直到1973年Black與Scholes利用標的資產遵循幾何布朗運動，即將含截距項與波動項之韋納過程延伸發展成選擇權評價模型。為了修正Black-Scholes假設波動率為固定之缺陷，CoxandRoss(1976)提出股價服從連續純粹跳躍之隨機過程進行市場衝擊對選擇權評價之影響。但CoxandRoss評價模型存在無封閉解，且大多數標的資產價格之行為亦不符合CoxandRoss假設。因此，Merton(1976)進一步假設價格具有卜瓦松過程之跳躍-發散之過程（Jump-Diffusionprocess,JD），利用考慮離散時點的市場重大事件所造成之價格衝擊修正CoxandRoss模型之缺陷。上述所有模型均假設價格隨機過程與波動過程不具相關性。HullandWhite(1987)首次利用隨機波動概念對選擇權評價，並指出價格隨機過程與波動過程具有套利相關性。HullandWhite(1987)之隨機波動模型為延展Black-Scholes模型3之里程碑，其主要改良為假設存在一獨立不確定來源驅動標的資產之波動。之後有許多相似之模型被提出，其中以Heston(1993)所發展對歐式買權評價之隨機波動模型最常被運用。Heston(1993)發展連續隨機波動模型去對歐式買權評價。其模型除了保留股價隨機過程服從幾何布朗運動之假設外，更定義股價變異Vt為具有均數回復之平方根過程。其實證結果證實波動性若有重大變化下，平均標的物之報酬波動不影響選擇權價格的假設並非正確。自此以後，學者們紛紛提出不同型態之跳躍-發散與隨機波動模型進行選擇權評價，更有許多學者將其兩者混合成一個模型。其中，Bates(1996)討論許多公開發行之選擇權訂價模型且結合Merton(1976)與Heston(1993)模型而提出隨機波動與跳躍-發散之混合模型（SVJ），並將其模型應用於1984年1月至1991年6月德國馬克對美元的外幣選擇權之評價上。另一方面，選擇權評價方法有非常多種類，例如：蒙地卡羅模擬法、二元樹法、偏微分方式法、近似公式解、傅立葉轉換法及快速傅立葉轉換法。其中快速傅立葉轉換法除了可解決非對數常態之問題外，其相對於傅立葉轉換法具有計算快速之優勢。傅立葉轉換為一種藉由資產在未確定分配下，利用其資產之特徵函數模擬資產價值之技術。換言之，在資產的任何套利轉換不確定下利用狀態價格密度函數分析選擇權價格。由於傅立葉轉換技術允許資產報酬存在高狹峰與隨機波動的真實結構去驅動真實時間下之選擇權訂價，且利用特徵函數之區別與轉變可以使選擇權評價無限制與持續之機會設計方法，因此，傅立葉轉換己為財務經濟之重要工具之一。BakshiandMadan(2000)提出平均利率選擇權、相關選擇權及間斷觀察型之敲出選擇權在標的資產於任何套利轉換不確定下，利用狀態價格密度函數分析價格選擇權。運用特徵函數之區別與轉變在於使得選擇權評價無限制與持續之機會可以被設計並進而產生封閉解。在快速傅立葉轉換技術方面，Walker(1991)發展出的快速傅立葉轉換，應用於可分析之特徵函數，並展現出速度之優點。而Carr4andMadan(1999)將快速傅立葉轉換應用於選擇權之評價。其藉由將股價取對數以簡化程式之複雜性，並代入快速傅立葉轉換下的買權價值。因此與一般傅立葉轉換應用於股價之評價上不同。Borak,DetefsonandHardle(2005)利用Merton(1976)、Heston(1993)及Bates(1996)發展之模型，比較快速傅立葉轉換與蒙地卡羅法之速度