浙江省名校协作体2020届高三数学3月第二次联考试题（PDF）

高三数学学科试题第1页（共4页）高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集0,1,2,3,4,5,6,7U=，集合3,4,5,6A=，集合1,3,4B=，则集合()()UUAB=A．0,1,2,5,6,7B．1C．0,2,7D．5,62．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为3yx=，则双曲线的离心率是A．10B．1010C．31010D．3103．若直线2yaxa=+与不等式组60330xyxxy−++−表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是A．90,5B．0,9C．)0,+D．(,9−4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的体积（单位：3cm）是A．162B．126C．144D．108362+5．已知平面⊥平面，且l=，a，b，则“ab⊥”是“al⊥或bl⊥”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件36正视图6侧视图俯视图6第4题图高三数学学科试题第2页（共4页）ABDB'C第8题图6．函数sin2(1)||1exyx=−+的图象可能是A．B．C．D．7．已知01a，随机变量,XY的分布列如下：则下列正确的是A．()2EYa=B．()()EXEY=C．()12DYD．()()DXDY=8．已知C为RtABD斜边BD上一点，且ACD为等边三角形，现将ABC沿AC翻折至ABC．若在三棱锥BACD−中，直线CB和直线AB与平面ACD所成角分别为,，则A．0B．2C．23D．39．已知10eab，则下列正确的是A．bbaababaB．babaaabbC．bababbaaD．以上均不正确10．已知数列na满足：()110,lne1nannaaa+==+−（*Nn），前n项和为nS(参考数据：ln20.693,ln31.099)，则下列选项中错误．．的是X012P()21a−()21aa−2aY101−P()21a−()21aa−2axyx3-3Oxyx3-3Oxyx3-3Oxyx3-3O高三数学学科试题第3页（共4页）A．21na−是单调递增数列，2na是单调递减数列B．1ln3nnaa++C．2020666SD．212nnaa−非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．若复数2i1iz+=−(i为虚数单位)，则z=▲．12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里．”则他第六天走▲里路，前三天共走了▲里路．13．在二项式621xx−的展开式中，常数项是▲，所有二项式系数之和是▲．14．设椭圆22:12xCy+=的左焦点为F，直线:20lxy−+=．动点P在椭圆C上，记点P到直线l的距离为d，则||PFd−的最大值是▲．15．在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2CB=，43bc=，1a=，则sinA=▲，ΔABC的面积是▲．16．已知,Rxy，且满足4210xyxy+++=，则224xyxy+++的最小值是▲．17．已知平面向量3,,,2,3,4,2abcabcab====，则acbc+的最大值是▲，最小值是▲．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）已知函数()21sincos2+326fxxx=++.（Ⅰ）求24f的值；（Ⅱ）求函数()yfx=的最小正周期及其单调递增区间．高三数学学科试题第4页（共4页）19．（本小题满分15分）如图，在四棱台1111ABCDABCD−中，底面ABCD是菱形，3ABC=，16BBD=，11BBABBC=，1122ABAB==，13BB=．（Ⅰ）求证：直线AC⊥平面1BDB；（Ⅱ）求直线11AB与平面1ACC所成角的正弦值．20．（本小题满分15分）已知等比数列na的前n项和为nS，满足4212aa−=，42323SSS+=，数列nb满足10b=，且()()()()11111nnnbnbnn+−+=+++（*Nn）．（Ⅰ）求数列na，nb的通项公式；（Ⅱ）设数列 nnba前n项和为nT，证明：2nT（*Nn）．21．（本小题满分15分）已知抛物线22xpy=（0p）上一点R(,2)m到它的准线的距离为3．若点,,ABC分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足32AMBM，直线BC交y轴于点N．记,,ABCAMGCNG的面积分别为123,,SSS，（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求123SSS+的取值范围．22．（本小题满分15分）已知函数()()eelnfxkxkx=−+，其中0k．()exgx=．（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）证明：当2e2eek+时，存在唯一的整数0x，使得()()00fxgx．（注：e2.71828=为自然对数的底数，且ln20.693，ln31.099．）第19题图第21题图参考答案高三年级数学学科一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678910CABACDDBAC二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．10212．6；33613．15；6414．2215．7527,257(第二问若为两解并含257，则扣一分)16．134−17．16,215三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解析：（Ⅰ）由()21sincos2+326fxxxππ=++可得：()21cos23cos2+26xfxxππ−+=+…………2分cos2+cos2166222xxπππ−++=+…………3分cos2++sin216622xxππ+=+…………5分第19题图251sin22122xπ=++，…………7分则2512121=sin2+=sin242241222222fππππ+×++=.…………9分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()251sin22122fxxπ=++，函数()yfx=的最小正周期为Tπ=．……………………………………………11分又由52222122kxkπππππ−++，………………………………………………13分解得112424kxkππππ−+因此函数()yfx=的单调递增强区间为11,2424kkππππ−+（Zk∈）．………14分说明：若学生的第（Ⅰ）没有化简到()251sin22122fxxπ=++，而且第（Ⅱ）问也没有得到()fx的化简结果，可得7分。19．（Ｉ）连接,ACBD交于O，因为BCBA=,11BBABBC∠=∠，11BBBB=,所以11BBCBBA∆≅∆,故11BABC=…………………2分又因为O为菱形对角线交点，即是线段AC的中点，所以1BOAC⊥……4分又四边形ABCD为菱形，故ACBD⊥而1BOBDO=I,所以AC⊥平面1BDB…………………………………………6分方法二：因为11BBABBC∠=∠，所以点1B在平面ABCD内的射影O在为ABC∠的平分线，………………………2分又四边形ABCD为菱形，故BD为ABC∠的平分线，则O∈直线BD………………4分故平面1BDB⊥平面ABCD,而平面1BDBI平面ABCDBD=,又四边形ABCD为菱形，故ACBD⊥所以AC⊥平面1BDB…………………………………………6分（Ⅱ）延长1111,,,AABBCCDD交于点P，平面1BDB即为平面BDP，平面1ACC即平面ACP由（Ｉ）得平面ACP⊥平面BDP，OP=平面ACPI平面BDP,所以过1B做1BHOP⊥,则1BH⊥平面ACP，故11BAH∠即为直线11AB与平面1ACC所成角…………10分（若研究直线AB与平面1ACC所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）因为四棱台1111ABCDABCD−中1122ABAB==，所以111AB=，6BP=因为2ABBC==,所以23BD=,作PGBD⊥,因为16BBDπ∠=，则33BG=,3PG=,所以21PO=,…………12分cosBPO∠362132621+−==××9221,7sin14BPO∠=，13714BH=，…………14分故1111137sin14BHBAHBA∠==．…………15分法二：延长1111,,,AABBCCDD交于点P，平面1BDB即为平面BDP，平面1ACC即平面ACP,设直线11AB与平面1ACC所成角为θ过P作PGBD⊥,垂足为G,因为6BP=,所以33BG=建系，以,OBOC为,xy轴，作z轴//GP…………9分(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(23,0,3)ABCP−−(3,1,0)AB=uuur(0,2,0)AC=uuur(23,1,3)AP=−uuur…………11分设平面ACP的法向量为(,,)mxyz=ur，则202330yxyz=−++=，所以3(,0,1)2m=ur，…………13分3337cos,143272214mAB===××+uruuur所以37sin14θ=…………15分20．（Ｉ）由423+2S3,SS=得()4332S2SSS−=−即432,2aaq==……………………………………………………………………2分又4212aa−=故12a=，所以2nna=…………4分由()()111nnnbnbnn+−+=+两边同除以()1nn+，得11111nnbbnn+−++=+，从而数列1nbn+为首项111b+=，公差1d=等差数列…………………………………………6分所以1=nbnn+，从而数列{}nb的通项公式为21nbn=−．…………8分（Ⅱ）由（Ｉ）知2122nnnnnbna−=…………10分令2nnnc=，数列{}nc之和为nS,则nnTS因为123nncccSc=++++L2131232222nn=++++L则234111231222222nnnnnS+−=++++L，………………………………………12分两式相减得24311111122222122nnnnS+=++++−L，1111(1())11221()1222212nnnnnnnS++−=−=−−−……………………………………13分的第21题图整理得222nnnS+=−．…………14分所以2nnTS…………15分21．（Ｉ）232p+=，2p=，……………………………………………………3分准线方程：1y=−……………………………………………………………5分（Ⅱ）设点112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，1230,0,0xxx,,AMGCNGABGCBGAMCNSSSABSBC∆∆∆∆==……………8分点G为ABC∆的重心，∴1=3ABGCBGABCSSS∆∆∆=,且1230xxx++=，233111211232