试卷第1页,总4页玉溪一中2018—2019学年下学期高二年级期中考试理科数学试卷命题人:金志文审题人:飞超常文浩一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数𝑧满足(√3−𝑖)⋅𝑧=4𝑖,则|𝑧|=()A.1B.2C.√2D.√32.命题“∀𝑥∈𝑅 , sin𝑥+1≥0”的否定是()A.∃𝑥0∈𝑅 , sin𝑥0+10B.∀𝑥∈𝑅 , sin𝑥+10C.∃𝑥0∈𝑅 , sin𝑥0+1≥0D.∀𝑥∈𝑅 , sin𝑥+1≤03.设向量𝑎⃑=(𝑥−1,𝑥),𝑏⃑⃑=(−1,2),若𝑎⃑//𝑏⃑⃑,则𝑥=()A.−32B.-1C.23D.324.某空间几何体的三视图如图所示,该几何体是()主视图侧视图俯视图A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥5.正整数N除以正整数m后的余数为n,记为N≡n(MODm),例如25≡1(MOD6).如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”,若执行该程序框图,当输入N=25时,则输出N=()A.28B.31C.33D.356.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问最后一天走了()A.6里B.12里C.24里D.96里7.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥,若直线𝑙过点(0,−𝑒),且与曲线𝑦=𝑓(𝑥)相切,则直线𝑙的斜率为()试卷第2页,总4页A.−2B.2C.−𝑒D.𝑒8.已知圆的极坐标方程为𝜌=4cos𝜃,圆心为𝐶,点𝑃的极坐标为(4,π3),则|𝐶𝑃|=()A.4√3B.4C.2√3D.29.已知𝑎𝑏0,则2𝑎+4𝑎+𝑏+1𝑎−𝑏的最小值为()A.4×√44B.6C.3×√8𝑎𝑎2−𝑏23D.3√210.某产品的广告费用𝑥与销售额𝑦的统计数据如下表:广告费用𝑥(万元)2345销售额𝑦(万元)25374454根据上表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中的𝑏̂为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.61.5万元B.62.5万元C.63.5万元D.65.0万元11.已知三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷中,𝐵𝐶⊥𝐶𝐷,𝐵𝐶=1,𝐶𝐷=√3,𝐴𝐵=𝐴𝐷=√2,则该三棱锥的外接球的体积为()A.4𝜋3B.8𝜋3C.8√2𝜋3D.4𝜋12.设𝐹1,𝐹2是双曲线C:的左、右焦点,O是坐标原点,点P在双曲线C的右支上且|𝐹1𝐹2|=2|𝑂𝑃|,△𝑃𝐹1𝐹2的面积为,则双曲线C的离心率为()A.√5B.4C.√2D.2二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分。13.若非零实数𝑎、b满足条件𝑎b,则下列不等式一定成立的是__________.①;②;③;④𝑎3b3;⑤14.设实数𝑥,𝑦满足约束条件{2𝑥−1≥0𝑥−𝑦≤0𝑥+𝑦−2≤0,则𝑧=2𝑥−𝑦的最大值为__________.15.已知数列*𝑎𝑛+满足𝑎1=2,𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1+2𝑛(𝑛≥2,𝑛𝜖𝑁∗),则数列*𝑎𝑛+的通项公式𝑎𝑛=_______.0,012222babyax2aba1122ba2babba3131试卷第3页,总4页16.对于任意的实数𝑥∈,1,𝑒-,总存在三个不同的实数𝑚∈,−1,4-,使得𝑚2𝑥𝑒1−𝑚−𝑎𝑥−ln𝑥=0成立,则实数𝑎的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,,,且𝑎𝑐,若𝑎tan𝐵=2𝑏sin(𝐵+𝐶).(1)求角B的大小;(2)若𝑏=√7,且△ABC的面积为3√34,求sinA的值.18.(本小题满分12分)从甲、乙两班各随机抽取10名同学,下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文的成绩(单位:分).已知语文作文题目满分为60分,“分数≥36分,为及格;分数≥48分,为高分”,且抽取的甲、乙两班的10名同学作文平均分都是44分.甲班乙班626234𝑦2𝑥268412660252078(1)求𝑥,𝑦的值;(2)若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生,请列举出所有的基本事件;并求抽到的学生中,甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.19.(本小题满分12分)如图,在多面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中,𝛥𝐴𝐸𝐵为等边三角形,𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐵𝐶⊥𝐴𝐵,𝐴𝐵=𝐵𝐶=2𝐴𝐷=2,𝐶𝐸=2√2,点𝐹为边𝐸𝐵的中点.(1)求证:𝐴𝐹//平面𝐷𝐸𝐶;(2)求直线𝐴𝐵与平面𝐷𝐸𝐶所成角的正弦值.abc试卷第4页,总4页20.(本小题满分12分)已知椭圆𝐶的方程为:𝑥22+𝑦2=1,且平行四边形𝑂𝑀𝐴𝑁的三个顶点𝑀,𝐴,𝑁都在椭圆𝐶上,𝑂为坐标原点.(1)当弦𝑀𝑁的中点为.12,√24/时,求直线𝑀𝑁的方程;(2)证明:平行四边形𝑂𝑀𝐴𝑁的面积为定值.21.(本小题满分12分)已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−12𝑥2,𝑔(𝑥)=1−𝑚2𝑥2+𝑥,𝑚𝜖𝑅,令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥).(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间;(2)若关于𝑥的不等式𝐹(𝑥)≤𝑚𝑥−1恒成立,求整数𝑚的最小值;(3)若𝑚=−1,且正实数𝑥1,𝑥2满足𝐹(𝑥1)=−𝐹(𝑥2),求证:𝑥1+𝑥2≥√3−1.(二)选考题:共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做,那么按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,直线𝑙的参数方程为{𝑥=1−√32𝑡𝑦=−√3+12𝑡(𝑡为参数),以坐标原点为极点,𝑥轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线𝐶的极坐标方程为𝜌=2√2√2−cos2𝜃.(1)求直线𝑙的普通方程及曲线𝐶的直角坐标方程;(2)设点𝑃(1,−√3),直线𝑙与曲线𝐶相交于两点𝐴,𝐵,求|𝑃𝐴|·|𝑃𝐵|的值.23.(本小题满分10分)已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|𝑥−1|.(1)当𝑎=1时,求不等式𝑓(𝑥)≥𝑥+4的解集;(2)若不等式𝑓(𝑥)≥𝑎2−1恒成立,求实数𝑎的取值范围.答案第1页,总4页参考答案一、选择题123456789101112BACDBABCBCAC二、填空题13.④⑤14.115.n2𝑛16.,16𝑒3,3𝑒)三、解答题17.【解析】(1)在ABC中,sin(B+C)=sinA,由正弦定理和已知条件得:sinAtanB=2sinBsinA,由于sinA0,sinB0,则有:cosB=12,又0B,所以B=𝜋3(2)由题可知:SABC=12acsinB=12acsin𝜋3=3√34,ac=3,在ABC中由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos𝜋3,即有:7=a2+c2-ac,整理得:(a+c)2-3ac=7,代入得:(a+c)2=16,a+c=4,解方程组{𝑎𝑐=3𝑎+𝑐=4,又ac,得:a=3,c=1,由正弦定理得:√7sin𝜋3=3sin𝐴,sinA=3√2114.18.【解析】解:(1)因为甲的平均数为44,所以𝑥甲=110(26+32+42+40+𝑥+42+46+48+50+52+56)=44,解得𝑥=6.同理,因为乙的平均数为44.所以𝑥乙=110(26+34+30+𝑦+41+42+46+50+52+57+58)=44,解得𝑦=4.(2)甲班成绩不低于高分的学生成绩分别为48,50,52,56共4人,乙班成绩不低于高分的学生成绩分别为50,52,57,58共4人,记*𝑎,𝑏+表示从甲、乙两班随机各抽取1名学生的成绩,则所有的基本事件为:{48,50}{48,52}{48,57}{48,58}{50,50}{50,52}{50,57}{50,58}{52,50}{52,52}{52,57}{52,58}{56,50}{56,52}{56,57}{56,58}从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生,共有4×4=16种情况;其中,甲班学生成绩高于乙班学生成绩的有*52,50+,*56,50+,*56,52+共3种;故由古典概型得,抽到的学生中,甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率𝑃=316.19.【解析】答案第2页,总4页(I)取𝐸𝐶中点𝑀,连结𝐹𝑀,𝐷𝑀∵𝐴𝐷//𝐵𝐶//𝐹𝑀,𝐴𝐷=12𝐵𝐶=𝑀𝐹,𝐴𝐷𝑀𝐹是平行四边形,∴𝐴𝐹//𝐷𝑀∵𝐴𝐹⊄平面𝐷𝐸𝐶,𝐷𝑀⊂平面𝐷𝐸𝐶,∴𝐴𝐹//平面𝐷𝐸𝐶.(II)取𝐵𝐶中点𝑁,连结𝐷𝑁,∴𝐷𝑁//𝐴𝐵所以直线𝐴𝐵与平面𝐷𝐸𝐶所成角即为直线𝐷𝑁与平面𝐷𝐸𝐶所成角,过𝑁作𝑁𝐻⊥𝐸𝐶,垂足为𝐻,连接𝐷𝐻.∵平面𝐷𝐸𝐶∩平面𝐸𝐵𝐶=𝐸𝐶,𝑁𝐻⊂平面𝐸𝐵𝐶,𝑁𝐻⊥𝐸𝐶∴𝑁𝐻⊥平面𝐷𝐸𝐶.𝐷𝐻为斜线𝐷𝑁在面𝐷𝐸𝐶内的射影,∴∠𝐻𝐷𝑁为直线𝐷𝑁与平面𝐷𝐸𝐶所成角,在𝑅𝑡𝛥𝐷𝑁𝐻中,𝐻𝑁=√22,𝐷𝑁=2∴sin∠𝐻𝐷𝑁=𝐻𝑁𝐷𝑁=√24∴直线𝐴𝐵与平面𝐷𝐸𝐶所成角的正弦值为√24.20.【解析】(1)𝑀𝑁的中点坐标为.12,√24/,设𝑀(𝑥1,𝑦1),𝑁(𝑥2,𝑦2),∴𝑥1+𝑥2=1,𝑦1+𝑦2=√22,∴{𝑥122+𝑦12=1𝑥222+𝑦22=1,两式相减可得12(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)=0,即12(𝑥1﹣𝑥2)+√22(𝑦1−𝑦2)=0,∴𝑘𝑀𝑁=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=−√22,∴直线𝑀𝑁的方程为𝑦−√24=−√22.𝑥−12/,即𝑥+√2𝑦−1=0,证明(2):当直线𝑀𝑁斜率不存在时,平行四边形𝑂𝑀𝐴𝑁为菱形,易得𝑆𝑂𝑀𝐴𝑁=√62设直线𝑀𝑁的方程为:𝑦=𝑘𝑥+𝑚与椭圆𝐶相交于𝑀、𝑁两点,设𝑀(𝑥1,𝑦1),𝑁(𝑥2,𝑦2),将其代入𝑥122+𝑦12=1得(2𝑘2+1)𝑥2+4𝑘𝑚𝑥+2(𝑚2−1)=0,△=16𝑘2𝑚2−8(2𝑘2+1)(𝑚2﹣1)>0即2𝑘2+1>𝑚2,又𝑥1+𝑥2=−4𝑘𝑚2𝑘2+1,𝑥1•𝑥2=2(𝑚2−1)2𝑘2+1,∴𝑦1+𝑦2=𝑘(𝑥1+𝑥2)+2𝑚=−4𝑘𝑚2𝑘2+1+2𝑚=2𝑚2𝑘2+1,∵四边形𝑂𝑀𝐴𝑁为平行四边形.答案第3页,总4页∴𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑥1+𝑥2,𝑦1+𝑦2)=(−4𝑘𝑚2𝑘2+1,2𝑚2𝑘2+1)∴点𝐴坐标为.−4𝑘𝑚2𝑘2+1,2𝑚2𝑘2+1/∵点𝐴在椭圆𝐶上,∴8𝑘2𝑚2(2𝑘2+1)2+4𝑚2(2𝑘2+1)=1,整理得4𝑚2=2𝑘2+1∴|𝑀𝑁|=√1+𝑘2·√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1