天津市耀华中学2020届高三数学上学期开学暑假验收考试试题（PDF）

天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学试卷第1页（共4页）天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集UR，集合{|}Axyx，2{|1}Byyx，那么集合()UABðA.(，0]B.(0，1)C.(0，1]D.[0，1)2.设xR，则“|2|1x”是“220xx”的A.既不充分也不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.充分而不必要条件3.“十二平均律”是通用的音律体系.明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.32fB.322fC.1252fD.1272f4.已知2logae，ln2b，121log3c，则a，b，c的大小关系为A.abcB.bacC.cbaD.cab5.若将函数2sin2yx的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为A.()26kxkZB.()26kxkZC.()212kxkZD.()212kxkZ6.已知()fx是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增.若实数a满足|1|(2)(2)aff，则a的取值范围是A.(，1)2B.(，13)(22，)C.1(2，3)2D.3(2，)7.已知抛物线28yx的准线与双曲线222116xya相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为A.3B.21C.2D.38.已知函数2231()ln1xxxfxxx，若关于x的方程1()2fxkx恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学试卷第2页（共4页）A.1(2，)eB.1[2，)eC.1(2，]eeD.1(2，)ee二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知i为虚数单位，则21ii__________.10.在61(2)xx的展开式中2x的系数为________（用数字作答）.11.已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E、F、G、H、M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为__________.12.直线3ykx与圆22(4)(3)4xy相交于M、N两点，||23MN，则k的取值范围是__________.13.已知a、b、c为正实数，20abc，则2bac的最小值为___________.14.在ABC中，60A，3AB，2AC.若2BDDC，AEACAB()R，且AD•4AE，则的值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知4a，22c，2cos4A.⑴求b和sinC的值；⑵求cos(2)6A的值.16.（本小题满分13分）甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34、23、12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．⑴若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；⑵记三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学试卷第3页（共4页）17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PD底面ABCD，底面ABCD为长方形，且1PDCD，2BC，E是棱PC的中点，过点E作EFPB于点F.⑴求证：PB平面DEF；⑵求直线BD与平面DEF所成角的正弦值；⑶求二面角DBPC的余弦值.18.（本小题满分13分）设{}na是等比数列，公比大于0，其前n项和为*()nSnN，{}nb是等差数列.已知11a，322aa，435abb，5462abb.⑴求{}na和{}nb的通项公式；⑵求1nkkkbS.天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学试卷第4页（共4页）19.（本小题满分14分）已知椭圆C：22221xyab(0)ab的离心率32e，椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为2+3．⑴求椭圆C的方程；⑵过点(Aa，0)作直线l与椭圆相交于点B，则y轴上是否存在点P，使得线段PAPB，且4PAPBuuruur？如果存在，求出点P坐标；否则请说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数2()fxaxx，()lngxbx，且曲线()fx与()gx在1x处有相同的切线．⑴求实数a，b的值；⑵求证：()()fxgx在(0，)上恒成立；⑶当[1n，)时，求方程()()fxxngx在区间(1，)ne内实根的个数.天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学参考答案第1页（共4页）天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678选项CDDDBCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.1322i；10.240；11.112；12.15[15，15]15；13.8；14.311.三、解答题：本题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）⑴由余弦定理得2222cosabcbcA，即222168222284bbbb，也即2280bb，解得2b或4（舍）.由同角三角函数的基本关系，有214sin1cos4AA.由正弦定理sinsinacAC得，7sin4C.⑵由二倍角的正弦和余弦公式，得223cos2cossin4AAA，7sin22sincos4AAA，∴733cos(2)cos2cossin2sin6668AAA.16．（本小题满分13分）⑴记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A、B、C.则事件“甲同学进入复赛”表示为AC.∵A、C相互独立，∴313()()()428PACPAPC即甲同学进入复赛的概率为38.⑵随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且3211(0)(1)(1)(1)43224PX，1111213111(1)4324324324PX，天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学参考答案第2页（共4页）12131132111(2)43243243224PX，3211(3)4324PX.∴随机变量X的分布列为：X0123P12414112414数学期望1111123()012324424412EX.17.（本小题满分13分）⑴∵PD底面ABCD，BC平面ABCD，∴PDBC.∵底面ABCD为长方形，∴CDBC.又PDCDD，∴BC平面PCD.∵DE平面PCD，∴DEBC.∵PDCD，E为PC的中点，∴DEPC.又∵PCBCC，∴DE平面PBC.∴DEPB.又EFPB，DEEFE，∴PB平面DEF.⑵由题意易知，DA、DC、DP两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0D，0，0)，(0P，0，1)，(0C，1，0)，(2B，1，0).∴(2BD，1，0)，(2BP，1，1)设直线BD与平面DEF所成角为，且由⑴知BP为平面DEF的法向量.∴sin|cosBD，30|6BP即直线BD与平面DEF所成角的正弦值为306.⑶由⑵知，(0E，12，1)2，(2BD，1，0)，(2BP，1，1)可求得平面PBD的法向量(1n，2，0)由⑴知DE平面PBC∴DE为平面PBC的法向量，(0DE，12，1)2设二面角DBPC为，且由图可知，为锐角，则cos|cosDE，10|5n∴二面角DBPC的余弦值为105.18.（本小题满分13分）天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学参考答案第3页（共4页）解：⑴设等比数列{}na的公比为q，由11a，322aa，可得220qq.∵0q，可得2q.故12nna.设等差数列{}nb的公差为d，由435abb，得134bd，由5462abb，得131316bd，∴11bd.故nbn；⑵解：由⑴，可得122112nnnS，故211111(21)(2)2(1)222nnnnkkknnkkkknnTkkkkkn19.（本小题满分14分）解：⑴2214xy；⑵由⑴知(2A，0)，设1(Bx，1)y，由题意，直线l斜率存在，设为k，则直线l方程为(2)ykx，联立方程得22(2)14ykxxy，整理得2222(14)16(164)0kxkxk，由212164214kxk得2122814kxk则12414kyk，假设y轴上存在点P，使得线段PAPB，且4PAPBuuruur则由PAPB得点P为线段AB中垂线与y轴交点.设(0P，0)y.设AB中点为M，则M的坐标为228(14kk，22)14kk.以下分两种情况：当0k时，点(2B，0)，此时AB中垂线为y轴，于是(2PAuur，0)y，(2PBuur，0)y.由4PAPBuuruur得022y.当0k时，线段AB中垂线的方程为222218()1414kkyxkkk令0x，解得02614kyk.(2PAPBuuruur，01)(yx，101010)2()yyxyyy2422222222(28)6464(16151)()41+41+41+41+4(1+4)kkkkkkkkkkk解得147k，∴02145y，天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试数学参考答案第4页（共4页）综上，y轴上存在点P，使得线段PAPB，且4PAPBuuruur，点P坐标为(0，22)或(0，214)5.20.（本小题满分14分）解：⑴()21fxax，()bgxx，∵曲线()()fxgx和在1x处有相同的切线，∴(1)21=(1)(1)1(1)0fagbfag，解得1a，1b；⑵证明：设2()()()lnuxfxgxxxx，0x.1(21)(1)()21xxuxxxx∴当01x时，()0ux，()ux单调递减；当1x时，()0ux，()ux单调递增.∴()(1)0uxu，即()()fxgx在(0，)上恒成立.⑶设2()()()lnhxfxngxxnx，∴2222()()222()2nnxxnxnhxxxxx①当212n即12n时，()0hx在(1，)ne上恒成立，即()hx单调递增，从而()(1)10hxh，所以()hx零点个数为0；②当212n即2n时，2()012nhxx，2()02nnhxxe，从而()hx在(1，2)2n上单调递减，在2(