天津市南开区2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（一）（PDF）

南开区高三年级模拟考试(一)参考答案第1页（共7页）2019—2020学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)参考答案数学学科一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案CABDBDCAB二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）（10）2；（11）–52；（12）2∶3；（13）125，6364；（第一个空2分，第二个空3分）（14）(1–2，1)；（15）132，5714．（第一个空2分，第二个空3分）三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（16）解：（Ⅰ）由3acosC–csinA=0得3sinAcosC–sinCsinA=0，…………1分∵sinA＞0，∴3cosC–sinC=0，即tanC=3，…………2分∵0＜C＜，∴C=3．…………3分∴S△ABC=34ab=332，即ab=6，又a–b=1，解得a=3，b=2．…………6分由余弦定理得c2=a2+b2–2abcosC=7，解得c=7，…………7分从而cosA=2222bcabc=714．…………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=32114，南开区高三年级模拟考试(一)参考答案第2页（共7页）∴sin2A=2sinAcosA=3314，cos2A=2cos2A–1=–1314，…………11分∴cos(2A–C)=cos2AcosC+sin2AsinC=(–1314)·21+3314·23=–17．…………14分（17）解：（Ⅰ）解法1：∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥CC1，∴∠PCC1即为PC与AA1所成角．∵CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BC，∵BP=PC1，∴∠PCC1=∠BC1C，不妨设AB=1，∵AB=AC=AA1，∴BC1=3，∴cos∠PCC1=∠PCC1=33．…………4分（Ⅰ）解法2：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，不妨设AB=1，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(0，1，1)．∵BP=PC1，∴P(12，12，12)，∴CP=(12，–12，12)，又1AA=(0，0，1)，∴cosCP，1AA=11||||CPAACPAA=33，∴PC与AA1所成角的余弦值为33．…………5分PACBA1C1B1zxy南开区高三年级模拟考试(一)参考答案第3页（共7页）（Ⅱ）设P(a，b，c)，由BP=21PC，得(a–1，b，c)=2(–a，1–b，1–c)，解得P(2–1，2–2，2–2)，∴CP=(2–1，1–2，2–2)，设PC与平面ABB1A1所成角为，∵平面ABB1A1的法向量为n1=(0，1，0)，所以sin=|cosn1，CP|=11||||||CPCPnn=|12|222=12，∴=30．…………10分（Ⅲ）设BP=1BC=(–，，)，则CP=CB+BP=(1，–1，0)+(–，，)=(1–，–1，)．设平面ACP的法向量为n2=(a，b，c)，则22010011110ACxyzyCPxyzxyz()()()()()()，，，，，，，，，，nn取z=–1，得x=，即n2=(，0，–1)．又平面A1AC的法向量为n3=(1，0，0)，∴cos45°=2323||||||nnnn=22||1()，解得=12，∴1BPPC=1．…………15分（18）解：（Ⅰ）n≥2时，an=Sn–Sn–1=22nn–2121nn()()=n，n=1时，a1=S1=1，满足上式，∴an=n．…………3分南开区高三年级模拟考试(一)参考答案第4页（共7页）∵bn+1bn=2n+1，∴bnbn–1=2n（n≥2），∴bn+1=2bn–1（n≥2），∴{bn}的奇数项和偶数项分别是2为首项，2为公比的等比数列，∴bn=12222nnnn，为奇数，，为偶数.…………7分（Ⅱ）21121niiiiabb()=1122niiii()=12niii–12niii，…………8分设Mn=1·x+2·x2+3·x3+…+(n–1)xn–1+nxn（x≠0，1），……①xMn=1·x2+2·x3+3·x4+…+(n–1)xn+nxn+1……②①–②得(1–x)Mn=x+x2+x3+…+xn–nxn+1=11nxxx()–nxn+1，∴Mn=1211nxnxnxx()()．…………12分∴12niii=12221212nnn()()=(n–1)·2n+1+2，12niii=12111222112nnn()()=2–22nn，…………14分从而21121niiiiabb()=(n–1)·2n+1+22nn．…………15分（19）解：（Ⅰ）由题设：3bc，232bca，解得a=2，b=3，∴椭圆C的方程为22143xy．…………………………4分南开区高三年级模拟考试(一)参考答案第5页（共7页）（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，|MF|=3|FN|，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=ty+1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立2213412xtyxy，消去x整理得(3t2+4)y2+6ty–9=0，有y1+y2=2634tt，……①y1y2=2934t，……②………………7分由|MF|=2|FN|，得y1=–2y2，……③联立①②③得，22227293434ttt()，解得t=255．∴直线方程为5250xy．……………………10分（Ⅲ）设P(x0，y0)，当直线l与x轴重合时，∵点P在椭圆外，∴x0–2，x0+2同号，由|PM|·|PN|=|PF|2，得(x0–2)(x0+2)=(x0–1)2，解得x0=52．………11分当直线l与x轴不重合时，由（Ⅱ）知，y1+y2=2634tt，y1y2=2934t，∵|PM|=21t|y1–y0|，|PN|=21t|y2–y0|，|PF|=21t|y0|，∵点P在椭圆外，∴y1–y0，y2–y0同号，由|PM|·|PN|=|PF|2，得(y1–y0)(y2–y0)=y02，整理得y1y2–y0(y1+y2)=0，即2934t–y02634tt=0，解得y0=32t，代入直线l的方程x=ty+1，得x0=52．…………14分∴点P在定直线x=52上．……………………15分（20）解：（Ⅰ）f(x)=a(lnx+1)–axa–1，………1分由曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为x–y–e=0，南开区高三年级模拟考试(一)参考答案第6页（共7页）知e–f(e)–e=0，即f(e)=ae–ea=0，f(e)=2a–aea–1=1，解得a=1．………5分（Ⅱ）若函数f(x)是(1，+∞)内的减函数，则f(x)=a(lnx+1)–axa–1≤0在(1，+∞)恒成立．∵a＞0，∴lnx+1–xa–1≤0在(1，+∞)恒成立．…………6分令g(x)=lnx+1–xa–1，g(x)=1x–(a–1)xa–2，①若0＜a≤1，g(x)＞0，g(x)在(1，+∞)单调递增，∴g(x)＞g(1)=0．②若1＜a＜2，当x∈(1，1111aa)时，g(x)＞0，g(x)单调递增，∴g(x)＞g(1)=0．③若a≥2，当x∈(1，+∞)时，g(x)＜0，g(x)单调递减，∴g(x)＜g(1)=0．综上，a≥2时，f(x)是(1，+∞)内的减函数．…………10分（Ⅲ）方程f(x)=0方程alnx–xa–1=0．若a=1，则x=1是方程alnx–xa–1=0的解，∴a≠1．令t=xa–1，则x=11at，∴方程alnx–xa–1=0方程1aalnt=t．①若a=0，方程1aalnt=t无实数根．②若a≠0，a≠1，方程1aalnt=t方程1aa=lntt．令h(t)=lntt，h(t)=21lntt，当t∈(0，e)时，h(t)＞0，当t∈(e，+∞)时，h(t)＜0，所以h(t)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，∴h(t)≤h(e)=e1，∴h(t)∈(–∞，e1)．南开区高三年级模拟考试(一)参考答案第7页（共7页）若方程1aa=lntt无实数根，则1aa＞e1，解得a＜0或a＞ee1，综上，a≤0或a＞ee1．…………16分