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第1页（共20页）2019年天津市南开区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算2﹣（﹣3）×4的结果是（）A．10B．﹣20C．﹣10D．142．（3分）2cos30°的值等于（）A．B．C．D．3．（3分）我区围绕培育和践行社会主义核心价值观为主线，扎实推进《天津市文明行为促进条例》宣传贯彻，与《天津日报》联合刊发《文明南开社区读本》文明条例宣传专刊40000份．将“40000”用科学记数法表示为（）A．4×105B．4×104C．0.4×105D．40×1034．（3分）观察下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）A．B．C．D．第2页（共20页）6．（3分）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（）A．aB．bC．cD．d7．（3分）方程组的解是（）A．B．C．D．8．（3分）反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，x1x2＞0，则y1﹣y2的值是（）A．正数B．负数C．0D．非负数9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，CB′与AB相交于点D，连接AA′，则∠B′A′A的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°10．（3分）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．3C．6D．411．（3分）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）第3页（共20页）A．4B．3C．2D．2+12．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②n＝c﹣a；③3a+b＞0；④﹣1＜a＜﹣．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算：（﹣3a）2a3＝．14．（3分）化简：（）÷的结果是．15．（3分）已知直线y＝kx+1经过第一、二、四象限，该直线解析式可以是．16．（3分）如图在圆形靶中，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，且∠BAC＝30°，则射击到靶中阴影部分的概率是．17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，第4页（共20页）点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．18．（3分）如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D均为格点，线段CD相交于点O．（Ⅰ）线段CD的长等于；（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度的直尺画出以A为一个顶点的矩形ARST，满足点O为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．在某中学举行的一次知识竞赛活动中，每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现九年级一班和二班的成绩整理并绘制出如下的统计图．第5页（共20页）请根据以上提供的信息，解答下列问题：（Ⅰ）每个班参加竞赛的学生人数为；（Ⅱ）二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%，则m＝；（Ⅲ）求一班参加竞赛学生成绩的平均数；（Ⅳ）求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数．21．已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．（Ⅰ）如图①，点P在线段OA上，若∠AQE＝28°，求∠OBQ的大小；（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠AQE＝28°，求∠OBQ的大小．22．在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏西36.8°方向上，在救助船B的西南方向上，船B在船A正北方向150海里处．（Ⅰ）求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；（Ⅱ）若救助船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75，结果保留整数第6页（共20页）23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都让利酬宾，在甲商场按累计购物金额的85%收费；在乙商场累计购物金额超过400元后，超出400元的部分按75%收费，设小红在同一商场累计购物金额为x元，其中x＞400．（Ⅰ）根据题意，填写如表（单位：元）：累计购物实际花费500700……x在甲商场425…在乙商场625…（Ⅱ）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（Ⅲ）“五一”节期间，小红如何选择这两家商场去购物更省钱？24．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）25．如图所示，Rt△ABO的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点第7页（共20页）的坐标分别为（﹣3，0），（0，4），抛物线y＝+bx+c经过点B，且顶点在直线x＝3上．（Ⅰ）求抛物线对应的函数关系式；（Ⅱ）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别是D、C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接BD．已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O，B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM，PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．第8页（共20页）2019年天津市南开区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：原式＝2﹣（﹣12）＝2+12＝14，故选：D．2．【解答】解：2cos30°＝2×．故选：B．3．【解答】解：将40000用科学记数法表示为：4×104．故选：B．4．【解答】解：第1个，是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确；第2个，不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；第3个，是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；第4个，是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确．故选：B．5．【解答】解：此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1，3个正方形；左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形；俯视图有三列，从上往下分别有3，1个正方形，故选：A．6．【解答】解：由图可知：c到原点O的距离最短，所以在这四个数中，绝对值最小的数是c；故选：C．7．【解答】解：，①×3+②×2得：19x＝114，解得：x＝6，把x＝6代入①得：y＝﹣，第9页（共20页）则方程组的解为，故选：C．8．【解答】解：∵k＞0．∴图象分别位于第一、三象限，又∵在每个象限内y随x的增大而减小，x1＞x2，x1x2＞0，故y1＜y2，∴y1﹣y2的值为负数．故选：B．9．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A'B'C∴AC＝A'C，∠ACA'＝40°，∠BAC＝∠B'A'C＝90°∴∠AA'C＝70°＝∠A'AC∴∠B'A'A＝∠B'A'C﹣∠AA'C＝20°故选：C．10．【解答】解：如图，∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，∴△ABC与△ADE是等边三角形，∵圆的半径为2，∴AH＝3，BC＝AB＝2，∴AE＝，AF＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝×2×3+××1×3＝4，故选：D．第10页（共20页）11．【解答】解：连接CC′，如图所示．∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，∴A′C′∥BC，∴四边形A′BCC′为菱形，∴点C关于BC'对称的点是A'，∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，此时AD+CD＝2+2＝4．故选：A．12．【解答】解：∵函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），且对称轴为x＝1，则函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x＞3时，y＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵顶点坐标为（1，n），∴n＝a+b+c＝a﹣2a+c，即n＝c﹣a，故②正确；∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故③错误；第11页（共20页）∵函数图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点），∴2＜c＜3，即2＜﹣3a＜3，解得：﹣1，故④正确；综上，①②④正确，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【解答】解：（﹣3a）2a3＝9a2•a3＝9a5．故答案为：9a5．14．【解答】解：原式＝＝×＝．15．【解答】解：∵直线y＝kx+1经过第一、二、四象限，∴k＜0．∴该直线解析式可以是y＝﹣x+1．故答案是：y＝﹣x+1（答案不唯一）16．【解答】解：∵AC是直径，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∴四边形ABCD是矩形，则S△COD＝S△AOD，S△AOB＝S△BOC，∴阴影部分面积＝S扇形AOD+S扇形BOC，第12页（共20页）∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝∠AOD＝60°，设⊙O半径为r，则射击到靶中阴影部分的概率是＝，故答案为：．17．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝＝，∴GH＝BF＝，故答案为：．18．【解答】解：（Ⅰ）CD＝＝2．故答案为：2；（Ⅱ）如图，第13页（共20页）1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；2、借助网格作AE⊥OA；3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，则矩形ARST即为所求．答案为：1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；2、借助网格作AE⊥OA；3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，则矩形ARST即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）