四川省遂宁二中2018-2019学年高二数学上学期半期考试试题 理（PDF）

高2020届第三期半期考试数学试题（理科）第1页（共4页）遂宁二中高2020级2018-2019学年第一学期半期考试数学试题（理科）说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，共90分）。考试时间120分钟，总分150分。2、选择题使用2B铅笔填涂在机读卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5mm黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3、考试结束后，将答题卡和机读卡收回。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过两点A(2,1)、B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．m＜1B．m＞－1C．－1＜m＜1D．m＞1或m＜－12．若两平行直线1l：02myx)0(m与2l：062nyx之间的距离是5，则nm（）A．0B．1C．2D．13．以A(－1,1)、B(2，－1)、C(1,4)为顶点的三角形的外接圆的面积是()A．92B．112C．132D．1524．对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件：①存在直线l，使得l⊥α，且l⊥β；②存在平面γ，使得α⊥γ，且β⊥γ；③存在平面γ，使得γ∥α，且γ∥β；④α内有不共线的三点到β的距离相等．其中，可以判定α与β平行的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是()A.12B.14C．1D.13436．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是()A．18＋93B．18＋92C．9＋182D．9＋183高2020届第三期半期考试数学试题（理科）第2页（共4页）7．点P(x，y)在线段AB上运动，已知点A(2,4)，B(5，－2)，则y＋1x＋1的取值范围是()A.－16，53B.－∞，－16∪53，＋∞C.－16，0∪0，53D.－16，538．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．12B．4C.563D.8339．已知直二面角α—l—β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于（）A．62B．52C．63D．5310、不论a为何值，直线l：ax－y+a＋2＝0恒过定点A，以点A为圆心的圆与直线117:022lxy相切.则以该圆的直径为轴旋转一周所得的几何体的表面积是（）A．40B．16053C．80D．805311．直线:(4)mykx与直线n关于点（2,1）对称，直线n恒过定点为P（,mn）,过点Q（3,2mn）的直线l夹在两直线：1:220lxy和2:30+=lxy之间的线段MN恰被点Q平分，则直线l的方程为()A．4240+xyB．8240+xyC．4240xyD．8240xy12．点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1（线段BC1）上运动，给出下列五个命题：①直线AD与直线B1P为异面直线；②A1P∥面ACD1；③三棱锥A－D1PC的体积为定值；④面PDB1⊥面ACD1．⑤直线AP与平面1ACD所成角的大小不变；其中所有正确命题的个数是（）A．2个B．3个C.4个D.5个高2020届第三期半期考试数学试题（理科）第3页（共4页）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，且直线l过点P(3，－4)，则直线l的斜截式方程为________________.14．点M2,1（）关于直线10xy的对称点的坐标是__________．15．已知a，b表示直线，α，β，γ表示不重合平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β．上述命题中，正确命题的序号是．16．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是．三、解答题：本大题共6小题，第17小题10分，其余小题每小题12分，共70分。17、（本小题满分12分）△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0).(1)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(2)求AC边上的高所在直线的方程；18．（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为,,abc，已知：,2,1ba41cosC。(Ⅰ)求△ABC的周长；(Ⅱ)求cos(A—C.)。高2020届第三期半期考试数学试题（理科）第4页（共4页）19．（本小题满分12分）已数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.20．（本小题满分12分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将BCD△翻折到BCD△，使得平面BCD⊥平面ABD．（1）求证：CD平面ABD；（2）求二面角DBEC的余弦值．21、（本小题满分12分）已知直线l过点)2,3(P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B。（1）求△AOB面积的最小值以及此时直线l的方程；（2）求直线l在坐标轴上的截距之和的最小值即此时直线l的方程；22．(本小题满分12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．遂宁二中高2020级2018-2019学年第一学期半期考试数学试题（理科）参考解答一、选择题：题号123456789101112答案CCCBDCABCCDB二、填空题：13．y＝33x－5．14．(2,3).15．②④16．35316．17、解：(1)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为y－62－6＝x＋2－4＋2，即2x－y＋10＝0．………………………………………5分(2)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0．………………………………………10分18．解：(Ⅰ)44121241cos2222Cabbac,2C………5分所以，△ABC的周长为：5221cba………6分(Ⅱ)∵1cos,4C∴22115sin1cos1().44CC∵15sin154sin,.28aCAc∵,acAC，故A为锐角.∴22157cos1sin1().88AA∴71151511cos()coscossinsin.848416ACACAC…..…..…..12分19．解：(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．所以an＝6n＋5.……………………2分·设数列{bn}的公差为d.由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.……………………5分(2)由(1)知cn＝6n＋6n＋13n＋3n＝3(n＋1)·2n＋1.……………………7分又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，9分两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋41－2n1－2－n＋1×2n＋2＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.……………………12分20．解：（1）由题意可知6CDCD，10BCCB，BD=8，即222BCCDBD，故CDBD．因为平面BCD⊥平面ABD，平面BCD平面ABD=BD，CD平面BCD，所以CD平面ABD．………………5分（2）由（1）知CD平面ABD，且CDBD，以D为原点，,,DBCDDC所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)D，(8,6,0)A，(8,0,0)B，(0,0,6)C．由于E是线段AD的中点，所以(4,3,0)E，(8,0,0)BD．在平面BEC中，(4,3,0)BE，(8,0,6)BC，设平面BEC的法向量为(,,)xyzn，则00BEBCnn，即430860xyxz，令3x，得4,4yz，所以平面BEC的一个法向量为(3,4,4)n．………………9分而平面DBE的一个法向量为(0,0,6)DC………………10分故441cos,41||||DCDCDCnnn，由图易知二面角DBEC的平面角为锐角，所以二面角DBEC的余弦值为44141．………………12分21、解：（1）设直线l的方程为1byax，则,0,0),,0(),0,(babBaA且又）（过点2,3Pl，123ba，2462231,0,0ababbaba，1221abSAOB，当且仅当2123ba即4,6ba时取等号。AOB的面积的最小值为12平方单位，此时直线l的方程为：146yx即01232yx。………………6分（2）由（1）知，123ba，6255232523)23)((baabbaabbababa，当baab23即62,63ba时取等号。l直线在两坐标轴上的截距之和的最小值为625，此时直线l的方程为：16263yx，即066262yx。………………12分22．解(1)证明：如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D.∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1.又D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.……………………6分(2)如图，在DC上取一点E，连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，∴要使D1E∥平面A1BD，需使MN∥D1E.又M是AD1的中点，∴N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.又DC＝2AB，∴E是DC的中点．∴当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.……………………12分