高2017级高二下期5月阶段性测试数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)。1.已知i为虚数单位,复数z满足izi2)1(=⋅−,z是复数z的共轭复数,则下列关于复数z的说法正确的是()A.iz−−=1B.2||=zC.2=⋅zzD.复数z在复平面内表示的点在第四象限2.若曲线()sinfxxx=在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于()A.-2B.-1C.1D.23.在同一平面直角坐标系中,将直线22xy−=按1:24xxyyϕ′=′=变换后得到的直线为l,若以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程为()A.4𝜌𝜌cos𝜃𝜃−𝜌𝜌sin𝜃𝜃=4B.𝜌𝜌cos𝜃𝜃−16𝜌𝜌sin𝜃𝜃=4C.𝜌𝜌cos𝜃𝜃−4𝜌𝜌sin𝜃𝜃=4D.𝜌𝜌cos𝜃𝜃−8𝜌𝜌sin𝜃𝜃=44.某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为31812863yxx=−+−,则该生产厂家获取的最大年利润为()A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元5.已知空间四边形𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂,其对角线为𝑂𝑂𝑂𝑂,𝑂𝑂𝑂𝑂,𝑀𝑀,𝑁𝑁分别是边𝑂𝑂𝑂𝑂,𝑂𝑂𝑂𝑂的中点,点𝐺𝐺在线段𝑀𝑀𝑁𝑁上,且使MG=2GN,用向量OA�����⃗,OB�����⃗,OC�����⃗表示向量OG�����⃗是()A.OG�����⃗=OA�����⃗+23OB�����⃗+23OC�����⃗B.OG�����⃗=12OA�����⃗+23OB�����⃗+23OC�����⃗C.OG�����⃗=16OA�����⃗+13OB�����⃗+13OC�����⃗D.OG�����⃗=16OA�����⃗+13OB�����⃗+23OC�����⃗6.如图,在三棱柱𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂−𝑂𝑂1𝑂𝑂1𝑂𝑂1中,𝑂𝑂𝑂𝑂1⊥底面ABC,𝑂𝑂𝑂𝑂1=3,𝑂𝑂𝑂𝑂=𝑂𝑂𝑂𝑂=𝑂𝑂𝑂𝑂=2,则𝑂𝑂𝑂𝑂1与平面𝑂𝑂𝑂𝑂1𝑂𝑂1所成角的大小为()A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘7.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的,则获得第一名的同学为()A.丙B.甲C.乙D.丁8.若21(1)ln(21),0()2ln,xaaxaxxafxxxxxa−−+++≤=−是(0,)+∞上的减函数,则实数a的取值范围是()A.[1,]eB.[,)e+∞C.32(0,]eD.32[1,]e9.如图,三棱锥DABC−中,1,2ABACDBDCBC=====,平面DBC⊥平面ABC,M,N分别为DA和DC的中点,则异面直线CM与BN所成角的余弦值为()A.156B.152C.56D.010.设函数()fx′是奇函数()()fxxR∈的导函数,当0x时,1ln()()xfxfxx′⋅−,则使得2(4)()0xfx−成立的x的取值范围是()A.(2,0)(0,2)−B.(,2)(2,)−∞−+∞C.(2,0)(2,)−+∞D.(,2)(0,2)−∞−11.如图,棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中,M是棱1AA的中点,点P在侧面11ABBA内,若1DPCM⊥,则PBC的面积的最小值为()A.255B.55C.45D.112.已知函数()1xfxeax=−−在区间(1,1)−内存在极值点,且恰有唯一整数解0x使得0()0fx,则a的取值范围是()(其中e为自然对数的底数,2.71828e=)A.221[,)2eee−B.22211[,1)(1,]22eeee−−−C.(1,)ee−D.2211[,)(1,)2eeeeee−−−二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答卷横线上)。13.已知复数22(56)(3)mmmmi−++−是纯虚数,则实数m为14.定积分220(4)xxdx−+∫=15.已知平行六面体1111ABCDABCD−中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱1AA的长为2,o11AAB=AAD=120∠∠.则对角线1BD的长为16.已知0,0kb,且ln(4)kxbx+≥+对任意的4x−恒成立,则bk的最小值为高二数学2019-05阶考第1页共2页高二数学2019-05阶考第2页共2页OC1B1A1CBA三、解答题(17题10分,18-22每小题12分,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.设函数()ln(0)fxaxxa=−.(1)若点()1,1在曲线()yfx=上,求曲线在该点处的切线方程;(2)若()fx有极小值2,求a.18.在直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为22cos2sinxyϕϕ=+=(ϕ为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为4sinρθ=.(1)求曲线1C的普通方程和2C的直角坐标方程;(2)已知曲线3C的极坐标方程为()0,Rθααπρ=∈,点A是曲线3C与1C的交点,点B是曲线3C与2C的交点,,AB均异于原点O,且42AB=,求α的值.19.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=4,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)线段BC上是否存在一点P,使得平面A1DP与平面A1BE成30的角?若存在,求出PCBC的值;若不存在,请说明理由.图1图220.已知函数()lnfxx=,21()(21)(0)2gxaxaxaa=−+≠≠且,2()3hxxkx=++(1)若函数()()()Fxfxgx=+在(0,]e上的最大值为1,求a的值;(2)若存在1(,)xee∈使得关于x的不等式()2()0xfxhx+≥成立,求k的取值范围.21.如图,在三棱柱111ABCABC−中,已知,在在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)求点C到平面的距离;(2)求直线1AC与平面11BCCB所成角的正弦值;(3)若M,N分别为直线上动点,求MN的最小值.22.定义函数ln()(0)kkaxfxax=≠为()fx的k阶函数.(1)求一阶函数1()fx的单调区间;(2)讨论方程2()1fx=的解的个数;(3)求证:33231*3ln!123()nneenenN−≤++++∈.15,4ABACAABC====1A11AABB11,AABC高二数学2019-05阶考第3页共2页高2017级高二下期5月阶段性测试数学试题(理科)参考答案1-5CDACC6-10ABDAD11-12AD13.214.2π+15.2316.317.解:(1)因为点()1,1在曲线()yfx=上,所以1a=,()lnfxxx=−又()1222xxfxxxx−′=−=,所以()112f′=−…………………..2分在该点处曲线的切线方程为()1112yx−=−−即230xy+−=……………..5分(2)定义域为()0,+∞,()1222axaxfxxxx−′=−=……….6分令()=0fx′可得24=xa列表可得x204a,24a24,a+∞()fx′−0+()fx单调递减单调递增所以()fx在240,a上单调递减,在24,a+∞上单调递增………………8分()24=fxfa极小值=242lna−,所以242lna−=2,解得()2a=舍负………….10分备注:不列表也可,单调性阐述正确均给分18.解:(1)由22cos2sinxyϕϕ=+=消去参数ϕ可得1C普通方程为()2224xy−+=……3分∵4sinρθ=,∴24sinρρθ=,由cossinxyρθρθ==,得曲线2C的直角坐标方程为()2224xy+−=…………6分(2)由(1)得曲线()221:24Cxy−+=,其极坐标方程为4cosρθ=,由题意设()()12,,,ABραρα,则124sincos42sin424ABπρρααα=−=−=−=………8分∴sin14πα−=±,∴()42kkZππαπ−=+∈,∵0απ,∴34πα=…………12分19.解:(1),平面.又平面,.又,平面…………4分(2)假设线段BC上存在点P,使平面A1DP与平面A1BE成30°的角。设点坐标为,则.如图建系,则,,,.∴,设平面法向量为,则∴,∴……6分设平面法向量为,因为,.则∴∴…………8分则11211233cos,217129nnannnna⋅+===⋅⋅+,2432470aa∴−+=解得8172a±=∵06a≤≤∴8172a−=………..10分所以817=12PCBC−所以存在线段上存在点,使平面与平面成30°的角,此时817=12PCBC−……..12分20.解:(1)因为𝐹𝐹′(𝑥𝑥)=(2𝑎𝑎𝑎𝑎−1)(𝑎𝑎−1)𝑎𝑎令𝐹𝐹′(𝑥𝑥)=0,𝑥𝑥1=1,𝑥𝑥2=12𝑎𝑎当12𝑎𝑎0时,𝑓𝑓(𝑥𝑥)在(0,1)上单调递增,在(1,𝑒𝑒)上单调递减CDDE⊥1,ADDE⊥∴DE⊥1ACD1AC⊂1ACD∴1AC⊥DE1ACCD⊥∴1AC⊥BCDEP(),0,0a[]0,6a∈Cxyz−()0,1,0D()0,0,3A()6,0,0B()4,1,0E()16,0,3AB=−()2,1,0.BE=−1ABE()nxyz=,,10,0ABnBEn⋅=⋅=63020xzxy−=−+=232zxyx==()1,2,23,n=1ADP()1111nxyz=,,()1,03APa=−(),1,0DPa=−1111300axzaxy−=−=11113,3zaxyax==()13,3,3.naa=BCP1ADP1ABE高二数学2019-05阶考第4页共2页所以𝑓𝑓(𝑥𝑥)在区间(0,𝑒𝑒)上的最大值为𝑓𝑓(1),令𝑓𝑓(1)=1,解得𝑎𝑎=−2…………2分当𝑎𝑎0,𝑥𝑥2=12𝑎𝑎0当12𝑎𝑎1时,𝑓𝑓(𝑥𝑥)在(0,12𝑎𝑎)上单调递增,(12𝑎𝑎,1)上单调递减,(1,𝑒𝑒)上单调递增所以最大值1可能在𝑥𝑥=12𝑎𝑎或𝑥𝑥=𝑒𝑒处取得而𝑓𝑓(12𝑎𝑎)=ln12𝑎𝑎+𝑎𝑎(12𝑎𝑎)2−(2𝑎𝑎+1)12𝑎𝑎=ln12𝑎𝑎−14𝑎𝑎0所以𝑓𝑓(𝑒𝑒)=ln𝑒𝑒+𝑎𝑎𝑒𝑒2−(2𝑎𝑎+1)𝑒𝑒=1,解得𝑎𝑎=1𝑒𝑒−2………………4分当112𝑎𝑎𝑒𝑒时,𝑓𝑓(𝑥𝑥)在区间(0,1)上单调递增,(1,12𝑎𝑎)上单调递减,(12𝑎𝑎,𝑒𝑒)上单调递增所以最大值1可能在𝑥𝑥=1或𝑥𝑥=𝑒𝑒处取得而𝑓𝑓(1)=ln1+𝑎𝑎−(2𝑎𝑎+1)0所以𝑓𝑓(𝑒𝑒)=ln𝑒𝑒+𝑎𝑎𝑒𝑒2−(2𝑎𝑎+1)𝑒𝑒=1,解得𝑎𝑎=1𝑒𝑒−2,与1𝑥𝑥2=12𝑎𝑎𝑒𝑒矛盾……………6分当12𝑎𝑎≥𝑒𝑒时,𝑓𝑓(𝑥𝑥)在区间(0,1)上单调递增,在(1,𝑒𝑒)单调递减,所以最大