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数学第1页，共10页题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A.{−2,−1,0,1,2,3}B.{−2,−1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}【答案】D【解析】【分析】本题考查交集的求法，是基础题，解题时注意交集定义的合理运用．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选D．2.函数𝑓(𝑥)=1𝑥2−4−√1−𝑥的定义域为A.(−∞,−2)∪(−2,1)B.(−∞,−2)∪(−2,1]C.(1,2)∪(2,+∞)D.[1,2)∪(2,+∞)【答案】B【解析】略3.已知角α的终边上一点P的坐标为（sin2𝜋3，cos2𝜋3），则sinα的值为（）A.12B.−12C.√32D.−√32【答案】B【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式，考查了学生的分析以及计算能力，属于基础题.利用诱导公式求得P的坐标的具体值，由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】解：∵角α终边上一点P的坐标是（sin2𝜋3，cos2𝜋3）,∴，，r=|OP|=√(√32)2+(−12)2=1，第2页，共10页∴sinα=𝑦𝑟=−12．故选B．4.函数𝑦=1𝑥+2,(𝑥≥−1)的值域为A.(0,1]B.[-1,0)C.[1,+∞)D.(−∞,1]【答案】A【解析】略5.若sinα＞0且tanα＜0，则𝛼2的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第一象限或第三象限D.第三象限或第四象限【答案】C【解析】【分析】本题考查象限角中各三角函数的符号，属于基础题．利用象限角的各三角函数的符号，由sinα＞0且tanα＜0得出α所在的象限，进而得出𝛼2的象限.【解答】解:∵sinα＞0且tanα＜0，∴α位于第二象限,∴𝜋2+2kπ＜α＜2kπ+π，k∈，∴𝜋4+kπ＜𝛼2＜kπ+𝜋2k∈,当k为奇数时，它是第三象限角;当k为偶数时，它是第一象限角,∴角𝛼2的终边在第一象限或第三象限.故选C．6.下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A.𝑓(𝑥)=3−𝑥B.𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥C.𝑓(𝑥)=−1𝑥+1D.𝑓(𝑥)=−|𝑥|【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的单调性与单调区间，属于基础题.根据各选项逐一分析各函数的单调性即可得出答案．【解答】解：A.∵f（x）=3-x在（0，+∞）上为减函数，故A不正确；B.∵f（x）=x2-3x是开口向上，对称轴为x=32的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，故B不正确；C.∵f（x）=-1𝑥+1在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所以它为增函数，故C正确；第3页，共10页D.∵f（x）=-|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，故D不正确.故选C.7.已知a=2−13，，c=，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质,属于基础题.解题的关键是借助指数函数和对数函数的单调性得出𝑎,𝑏,𝑐与0,1这样的特殊值的大小关系,从而得出答案.【解答】解:∵0𝑎=2−1320=1,,,∴𝑐𝑎𝑏,故选C.8.已知偶函数𝑓(𝑥)在区间(−∞,0]上单调递减，则满足𝑓(2𝑥−1)𝑓(13)的𝑥的取值范围为A.(−12,23)B.(−13,23)C.(13,23)D.(12,23)【答案】C【解析】略9.已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为()A.√3B.2√3C.2√2D.2【答案】D【解析】【分析】本题在已知扇形的面积和半径的情况下，求该扇形圆心角的弧度数，着重考查了扇形的面积公式，属于基础题．半径为r的扇形圆心角的弧度数为α，则它的面积为S=12αr2，由此结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数α的方程．【解答】解：设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S=12αr2=12α×22=4，解得α=2，故选D．10.已知，则cos（60°-α）的值为()A.12B.−12C.√32D.-√32【答案】C第4页，共10页【解析】【分析】本题主要考查利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．利用诱导公式把要求的式子化为sin（30°+α），利用条件求得结果．【解答】解：cos（60°-α）=sin[90°-（60°-α）]=sin（30°+α）=√32.故选C．11.函数f（x）=𝑒𝑥𝑥的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题.先求出函数的定义域，再分别讨论x＞0，x＜0时函数的范围，由此判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=𝑒𝑥𝑥的定义域为：(−∞,0)∪(0,+∞)，排除选项A．当x＞0时，函数f（x）=𝑒𝑥𝑥＞0，选项C不满足题意．当x＜0时，函数f（x）=𝑒𝑥𝑥＜0，选项D不正确，故选B．12.已知函数f（x）={|𝑙𝑔𝑥|,𝑥0−𝑥(𝑥+4),𝑥≤0，则函数y=f（x）-3的零点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数零点的定义可以直接求解，也可以利用数形结合来求解.利用分段函数分别解方程f（x）=3，即可得到函数零点的个数.【解答】解：由y=f（x）-3=0，得f（x）=3，第5页，共10页当x＞0时，由f（x）=|lgx|=3，解得lgx=3或-3，即x=1000或x=11000；当x≤0时，由f（x）=-x（x+4）=3，即x2+4x+3=0，解得x=-3或-1.综上函数y=f（x）-3的零点的个数为4个，故选D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：的值是______．【答案】5【解析】【分析】本题考查对数式、指数式化简求值，属于基础题.利用指数，对数的运算法则求解．【解答】解：=1+3×23+lg100=1+2+2=5.故答案为5.14.已知点P（1，2）在α终边上，则=______．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式，属于基础题.先由任意角的三角函数的定义求出正切值．再将代数式分子分母同除以余弦转化为关于正切的代数式求解．【解答】解：∵点P（1，2）在α终边上,∴tanα=2,则.故答案为5.15.已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，且当𝑥0时，𝑓(𝑥)=2𝑥−1，则𝑓(𝑓(−1))的值为______．【答案】-1【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性的应用，求函数的值，属于基础题．利用条件求得f（1）=1，再利用函数的奇偶性，求得f（f（-1））的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-1，∴f（1）=1，则f（f（-1））=f（-f（1））=f（-1）=-f（1）=-1，第6页，共10页故答案为-1．16.已知函数𝑦=sin(2𝑥−𝜋3)，𝑥∈[0,𝜋2]，则它的单调递增区间为______．【答案】[0，5𝜋12]【解析】【分析】本题考查三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中等题．先求出函数在R上的单调递增区间，然后与定义域[0，𝜋2]取交集，即可求出答案．【解答】解：令−𝜋2+2𝑘𝜋≤2𝑥−𝜋3≤𝜋2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，解得−𝜋12+𝑘𝜋≤𝑥≤5𝜋12+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，令𝐴={𝑥|−𝜋12+𝑘𝜋≤𝑥≤5𝜋12+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍}，则𝐴∩[0，𝜋2]=[0，5𝜋12]，因此，函数𝑦=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)，𝑥∈[0，𝜋2]的单调递增区间为[0，5𝜋12]．故答案为[0，5𝜋12]．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A，B∩∁UA；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）集合A={x|1≤x＜4}，∁UA={x|x＜1或x≥4}，a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），B∩∁UA={x|-4≤x＜1或4≤x＜5};（2）若A∪B=A则B⊆A，分以下两种情形：①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1，②B≠∅时，所以{2𝑎＜3−𝑎2𝑎≥13−𝑎≤4，解得12≤𝑎＜1，综合上述，所求a的取值范围为𝑎≥12.【解析】本题考查集合的基本运算，补集以及并集的求法，考查分类讨论思想的应用，是基础题．（1）利用已知条件求出A的补集，然后直接求解即可;（2）分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可．18.已知-𝜋2＜x＜0，sinx+cosx=15．（1）sinx-cosx的值．（2）求tanx的值．【答案】解：（1）∵-𝜋2＜𝑥＜0，∴𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=−√(𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥)2=−√1−2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥第7页，共10页=−√1−[(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)2−1]=−√1+2425=−75；（2）∵𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑡𝑎𝑛𝑥+1𝑡𝑎𝑛𝑥−1=−17，∴𝑡𝑎𝑛𝑥=−34．【解析】本题考查同角三角函数间的基本关系系，是基础题．解题时要认真审题，注意三角函数的符号．（1）先利用同角三角函数间的关系把sinx-cosx等价转化为-√1−2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥，由此能求出sinx-cosx的值；（2）先𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥分子分母同时除以cosx，得到𝑡𝑎𝑛𝑥+1𝑡𝑎𝑛𝑥−1=−17，由此能求出tanx的值．19.已知𝑓(𝛼)=𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝜋2)𝑐𝑜𝑠(3𝜋2−𝛼)𝑡𝑎𝑛(𝜋+𝛼)𝑐𝑜𝑠(𝜋2+𝛼)𝑠𝑖𝑛(2𝜋−𝛼)𝑡𝑎𝑛(−𝛼−𝜋)𝑠𝑖𝑛(−𝛼−𝜋)．（1）化简f（α）；（2）若𝛼=−31𝜋3，求f（α）的值．【答案】解：（1）𝑓(𝛼)=−𝑐𝑜𝑠𝛼(−𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑡𝑎𝑛𝛼(−𝑠𝑖𝑛𝛼)−𝑠𝑖𝑛𝛼(−𝑡𝑎𝑛𝛼)𝑠𝑖𝑛𝛼=−𝑐𝑜𝑠𝛼．（2）因为−31𝜋3=−5×2𝜋−𝜋3，∴𝑓(−31𝜋3)=−𝑐𝑜𝑠(−31𝜋3)=−𝑐𝑜𝑠(−5×2𝜋−𝜋3)=−𝑐𝑜𝑠𝜋3=−12，即𝑓(𝛼)=−12.【解析】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查了学生的分析以及计算能力，属于基础题.（1）由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果；（2）由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得f（α）的值.20.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎−2𝑥1+2𝑥(𝑎∈𝑅),且𝑥∈𝑅时,总有𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)成立．(1)求a的值；(2)判断并证明函数𝑓(𝑥)的单调性；(3)求𝑓(𝑥)在[0,2]上的值域．【答案】解：（1）∵f（-x）=-f（x），∴𝑎−2−𝑥1+2−𝑥=-𝑎−2𝑥1+2𝑥，即𝑎⋅2𝑥−11+2𝑥=2𝑥−𝑎1+2𝑥，∴a=1，∴f（x）=1−2𝑥1+2𝑥；（2）函数f（x）为R上的减函数，理由如下:∵f（x）的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x2＞x1，第8页，共10页∴f（x2）-f（x1）=1−2𝑥21+2𝑥2−1−2𝑥11+2𝑥1=2(2𝑥1−2𝑥2)(1+2𝑥1)(1+2𝑥2)，∵x2＞x1，∴2𝑥22𝑥1＞0，∴𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥