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第1页，共13页一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合 ൌ 1 2，3 ， ൌ ሼ ሼ ⛰ ，则 ൌ༵ A. - -1 1，2，3 B. - -1 1， C. 1 3 D. 1 【答案】D【解析】【分析】本题考查交集的求法，是基础题，解题时注意交集定义的合理运用．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出 的值．【解答】解： 集合 ൌ 1 2，3 ， ൌ ሼ ሼ ⛰ ൌ ሼ 3 ሼ 3 ， ൌ 1 ．故选D． . ݅ 1 1 1 ݅ 1 ൌ༵ A. 3 B. 1 C.3 D.1 【答案】D【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．利用两角和的正弦函数公式计算得结论．【解答】解： ݅ 1 1 1 ݅ 1 ൌsin༵1 1 ൌ ݅ 3 ൌ1 ，故选D．3.函数 ൌsin༵ ሼ 3 的图象经过下列平移，所得图象对应的函数为偶函数的是༵ A.向左平移 个单位B.向右平移 个单位C.向左平移 1 个单位D.向右平移 1 个单位【答案】C【解析】解：函数 ൌsin༵ ሼ 3 ，设平移 个单位后，函数为偶函数，即sin ༵ሼ 3 为偶函数，那么： 3ൌ ， ．解得： ൌ 1 ．第 页，共13页当 ൌ 时，可得 ൌ 1 ． 向左平移 1 个单位．故选：C．利用函数 ൌ ݅ ༵ ሼ 的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数 ൌ ݅ ༵ ሼ 的图象变换规律，属于基础题．4.3 tan1 1 3tan1 ൌ༵ A.0B. ൌ1C.3D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查两角差的正切公式，熟练公式式解题的关键．【解答】解：原式ൌ ܽ ܽ 1 1 ܽ ܽ 1 ൌtan༵ 1 ൌ ܽ ܽ ൌ1，故选B．5.已知函数 ༵ሼ 为定义在 上的偶函数，且当ሼ➐ 时， ሼൌlgሼ，函数 ሼൌsinሼ，则函数 ༵ሼ 与 ༵ሼ 的交点个数为༵ A.6B.8C.10D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．【解答】解：由题意 ሼ与 ሼ都是偶函数， ሼ是周期为的周期函数，ሼ➐ 时， ሼൌ⸶ ሼ是增函数，，在上有两个交点，，在上有两个交点，，在上无交点，在上有一个交点，因此在R上它们有10个交点．故选C．6.已知幂函数 ༵ሼ ൌ༵ 1 ሼ 的图象过点༵ ，设ܽൌ ༵ ， ൌ ༵ ， ൌ ༵⸶ ，则༵ A.B.C.D.【答案】A【解析】解： 幂函数 ༵ሼ ൌ༵ 1 ሼ 的图象过点༵ ， 1ൌ1 ൌ ，解得 ൌ ， ൌ3 ，第3页，共13页 ༵ሼ ൌሼ3 ， ༵ሼ 在༵ 是增函数， ln3 1， ༵ ➐ ༵3 ➐ ༵ln3 ， ܽ➐ ➐ ，即 ܽ．故选：A．由幂函数 ༵ሼ ൌ༵ 1 ሼ 的图象过点༵ ，列方程组求出 ൌ ， ൌ3 ，从而 ༵ሼ ൌሼ3 ，可得 ༵ሼ 在༵ 是增函数，即可比较a，b，c的大小．本题考查三个数的大小的比较，考查幂函数的图象与性质，对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知ܽൌ .3 .ܽ ൌ . .ܽ ൌlog .3 ，则a，b，c的大小关系是༵ A.ܽ➐ ➐ B. ➐ܽ➐ C.ܽ➐ ➐ D. ➐ ➐ܽ【答案】B【解析】【分析】本题考查幂函数及对数函数的性质，由幂函数的性质得a，b的大小，由对数函数的性质得c的范围即可求解．【解答】解：因为函数 ൌሼ .ܽ在第一象限递增，所以 ܽ ，又 ൌlog .3 ，所以 ➐ܽ➐ ．故选B．8.函数 ൌ1 ሼ ݅ ሼሼ 的部分图象大致为༵ 第ܽ页，共13页A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，利用函数的奇偶性以及特殊点即可得解，属于一般题．通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数 ൌ1 ሼ ݅ ሼሼ ，可知： ༵ሼ ൌሼ ݅ ሼሼ 是奇函数，所以函数 ༵ሼ 的图象关于原点对称，则函数 ൌ1 ሼ ݅ ሼሼ 的图象关于༵ 1 对称，排除B．当ሼൌ 1 时，，排除A、C．故选D．9.已知函数 ༵ሼ ൌ ሼ ܽሼ ሼ ⸶ ሼ ܽ ሼ➐ 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是༵ A. 1 B.༵1 C.༵1 D.༵ 【答案】C【解析】【分析】本题考查分段函数的零点问题解法，注意运用定义法和函数的单调性，考查方程思想，运算求解能力，属于中档题．由分段函数，分别判断ሼ➐ 时，ሼ 时， ༵ሼ 的单调性，可得恰有一个零点，由对数函数的单调性，即可得到a的范围．【解答】第 页，共13页解：由函数 ༵ሼ ൌ ሼ ܽሼ ሼ ⸶ ሼ ܽ ሼ➐ ，可得ሼ➐ 时， ༵ሼ ൌlog ሼ ܽ递增， ༵ሼ 最多一个零点；ሼ 时， ༵ሼ ൌ ሼ ܽሼൌ ༵ሼ ܽ，为增函数， ༵ሼ 最多一个零点．当ሼ➐ 时， ༵ሼ ൌ ，即有ܽൌlog ሼ，由ሼ➐ ，可得ܽ➐1．当ሼ 时， ༵ሼ ൌ ，可得ሼൌ 或༵ܽ舍去 ，则实数a的取值范围是༵1 ．故选C．10.若函数 ༵ሼ ൌ logܽሼ ሼ༵ܽ➐ ܽ 1 的两个零点是m，n，则༵ A.mnൌ1B.mn➐1C.mn 1D.以上都不对【答案】C【解析】解：令 ༵ሼ ൌ 得 logܽሼ ൌ1 ሼ，则 ൌ logܽሼ 与 ൌ1 ሼ的图象有2个交点，不妨设 ，ܽ➐1，作出两个函数的图象如图： 1 ➐1 ，即 logܽ ➐logܽ ， logܽ logܽ ，即log༵ܽ ， 1．故选：C．结合图象得出 logܽ 和 logܽ 的大小关系，利用对数的运算性质化简即可得出答案．本题考查了基本初等函数的图象与性质，对数的运算性质，属于中档题．11.已知 为第二象限角， ݅ ൌ33，则 ൌ༵ A. 3B. ⛰C. ⛰D. 3【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得 ݅ 第 页，共13页 ൌ1 3是关键，属于中档题．由 为第二象限角，可知 ݅ ➐ ， ，从而可求得 ݅ ൌ1 3，利用 ൌ ༵ ݅ ༵ ݅ 可求得 【解答】解： ݅ ൌ33，两边平方得：1 ݅ ൌ13， ݅ ൌ 3， ༵ ݅ ൌ1 ݅ ൌ 3， 为第二象限角， ݅ ➐ ， ， ݅ ൌ1 3， ൌ ༵ ݅ ༵ ݅ ൌ༵ 1 3 33ൌ 3．故选A．12.已知函数 ༵ሼ ൌ ሼ ⋅ ݅ ሼ，给出下列四个说法：； 函数 ༵ሼ 的周期为 ；③ ༵ሼ 在区间 - ܽ ܽ 上单调递增；④ ༵ሼ 的图象关于点༵- 中心对称．其中正确说法的序号是༵ A.②③B.①③C.①④D.①③④【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的单调性、奇偶性和周期性，对称性的综合应用问题，是综合题，属于较难题．由已知 计算 ༵ 1ܽ 3 的值即可； 计算 ༵ ܽ 与 ༵ ܽ 的值，由 ༵ ܽ ༵ ܽ 判断 错误； ሼ ܽ ܽ 时 ༵ሼ ൌ1 ݅ ሼ， ༵ሼ 是单调增函数； 计算 ༵ ܽ 与 ༵ 3 ܽ 的值，由 ༵ ܽ ༵ 3 ܽ ，判断 错误，即可得结果．【解答】第7页，共13页解：对于 ， ༵ 1ܽ 3 ൌ ༵ 71 3 ൌ cos 3sin 3ൌ 3ܽ，正确；对于 ，因为 ༵ ܽ ൌcos ܽsin ܽൌ1 ， ༵ ܽ ൌ cos ܽsin ܽൌ 1 ， ༵ ܽ ༵ ܽ ，错误；对于 ，当ሼ ܽ ܽ 时， ༵ሼ ൌ ሼ ݅ ሼൌ1 ݅ ሼ， ༵ሼ 在区间 ܽ ܽ 上单调递增，正确；对于 ， ༵ ܽ ൌ cos ܽsin ܽൌ 1 ， ༵ 3 ܽ ൌ cos ܽsin ܽൌ 1 ，则 ༵ ܽ ༵ 3 ܽ ，所以 ༵ሼ 的图象不关于点༵ 中心对称，错误；综上，正确的命题序号是 ．故选B．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知 ݅ sin cos ൌ 1，则 ܽ ൌ______．【答案】1 【解析】解： ݅ sin cos ൌ 1，可得： ܽ tan 1ൌ 1，解得 ܽ ൌ1 ．故答案为：1 ；利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．14.函数 ൌlog ༵1 ሼ 的单调减区间为________．【答案】༵ 1 【解析】【分析】主要考查了复合函数的单调区间，以及对数函数的性质问题．【解答】解：令 ൌ1 ሼ， ➐ ，得ሼ 1．第 页，共13页t在༵ 1 上是减函数，根据复合函数的单调性可知：函数 ༵ሼ 的单调递减区间为༵ 1 ．故答案为༵ 1 ．15.已知 ༵ ሼ 3 ൌሼ ሼ 1，求 ༵ሼ ൌ______．【答案】1ܽሼ ሼ 1⛰ܽ【解析】解： ༵ ሼ 3 ൌሼ ሼ 1，设 ൌ ሼ 3，则ሼൌ1 ༵ 3 ，那么：函数 ༵ ሼ 3 ൌሼ ሼ 1转化为 ༵ ൌ1༵ܽ 3 1 ༵ 3 1整理得： ༵ ൌ1ܽ 1⛰ܽ，故得 ༵ሼ ൌ1ܽሼ ሼ 1⛰ܽ，故答案为： ༵ሼ ൌ1ܽሼ ሼ 1⛰ܽ．利用换元法求解即可．本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．16.下列说法： 正切函数 ൌtanሼ在定义域内为增函数； 函数 ༵ሼ ൌcos༵ 3ሼ 是奇函数； ሼൌ 是函数 ༵ሼ ൌsin༵ ሼ ܽ 的一条对称轴方程； 扇形的周长为8cm，面积为ܽ ，则扇形的圆心角为2rad； 若 是第三象限角，则 sin sin cos cos 取值的集合为 ．其中正确的是_____________.༵写出所有正确答案的序号 【答案】 【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查了 ൌ ݅ ༵ ሼ 型函数的图象和性质，是中档题．【解答】解：对于 ，函数 ൌ ܽ ሼ在定义域内不是单调函数，故 错误；第⛰页，共13页对于 ，函数 ༵ሼ ൌcos༵ 3ሼ ൌ sin 3ሼ，函数 ༵ሼ 是奇函数，故 正确；对于 ，把ሼൌ 代入函数 ሼൌsin ሼ ܽ，得到： ൌ 1，故 正确；对于 ，设扇形的弧长为：l半径为r，所以 o ⸶ൌ ，1 ⸶ oൌܽ，所以⸶ൌܽ，oൌ ，所以扇形的圆心角的弧度数是：ܽ ൌ ，故 正确；对于 ，角 的终边在第三象限，则 3 ܽ ，当 在第二象限时，则sin sin cos cos ൌ ，当 在第四象限时，则sin sin cos cos ൌ ，故 不正确，综上所述， 正确，故答案为 ．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知函数 ༵ሼ ൌሼ 3 17 ሼ的定义域为集合A， ൌ ሼ ሼ 1 ， ൌ ሼ ܽ ሼ ܽ 1 ．༵1 求 ，༵ ༵ 若 ൌ ，求实数a的取值范围．【答案】解༵1 ൌ ሼ 3 ሼ 7 ， ൌ ሼ ሼ 1 ；༵ ൌ ሼ ሼ 3或7 ሼ 1 ༵ܽ分 ༵ 当 ൌ 时，ܽ ܽ 1，ܽ 1当 时，ܽ ܽ 1ܽ ܽ 1 1 ， ܽ ⛰ 即ܽ 1或 ܽ ⛰ ༵