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书书书试卷类型：Ａ高二年级考试数学试题２０１９７一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知复数ｚ＝（ｍ＋１）－（ｍ－２）ｉ在复平面内对应的点在第一象限，则实数ｍ的取值范围是Ａ．（－１，２） Ｂ．（－∞，－１） Ｃ．（－２，１） Ｄ．（２，＋∞）２．设函数ｙ＝１－ｘ槡２的定义域Ａ，函数ｙ＝３ｘ的值域为Ｂ，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（０，１）Ｂ．（０，１］Ｃ．［－１，１］Ｄ．（０，＋∞）３．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，由图得到结论不正确的为Ａ．性别与是否喜欢理科有关Ｂ．女生中喜欢理科的比为２０％Ｃ．男生不喜欢理科的比为６０％Ｄ．男生比女生喜欢理科的可能性大些４．下列等式不正确的是Ａ．Ｃｍｎ＝ｍ＋１ｎ＋１Ｃｍｎ＋１Ｂ．Ａｍ＋１ｎ＋１－Ａｍｎ＝ｎ２Ａｍ－１ｎ－１Ｃ．Ａｍｎ＝ｎＡｍ－１ｎ－１Ｄ．ｎＣｋｎ＝（ｋ＋１）Ｃｋ＋１ｎ＋ｋＣｋｎ５．在某个物理实验中，测得变量ｘ和变量ｙ的几组数据，如下表：ｘ０５００９９２０１３９８ｙ－０９９００１０９８２００则下列选项中对ｘ，ｙ最适合的拟合函数是Ａ．ｙ＝２ｘＢ．ｙ＝ｘ２－１Ｃ．ｙ＝２ｘ－２Ｄ．ｙ＝ｌｏｇ２ｘ６．已知函数ｆ（ｘ）＝１５ｘ５－１３ｘ３＋４，当ｆ（ｘ）取得极值时，ｘ的值为Ａ．－１，１，０Ｂ．－１，１Ｃ．－１，０Ｄ．０，１７．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于４”为事件Ａ，“两颗骰子的点数之和等于７”为事件Ｂ，则Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ａ．１３Ｂ．１６Ｃ．１９Ｄ．１１２高二数学试题第１页（共４页）８．某家具厂的原材料费支出ｘ（单位：万元）与销售量ｙ（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出ｙ与ｘ的线性回归方程为＾ｙ＝６ｘ＋＾ｂ，则＾ｂ为ｘ２４５６８ｙ２５３５６０５５７５Ａ．１０Ｂ．１２Ｃ．２０Ｄ．５９．函数ｆ（ｘ）＝２１＋ｅｘ()－１ｃｏｓｘ图象的大致形状是１０．若二项式（２ｘ－１槡ｘ）ｎ（ｎ∈Ｎ）的展开式中第２项与第３项的二项式系数之比为２∶５，则展开式中ｘ３的系数为Ａ．１４Ｂ．－１４Ｃ．２４０Ｄ．－２４０１１．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋４ｘ，ｇ（ｘ）＝２ｘ＋ａ，若ｘ１∈［１２，１］，ｘ２∈［２，３］，使得ｆ（ｘ１）≥ｇ（ｘ２），则实数ａ的取值范围是Ａ．ａ≤１Ｂ．ａ≥１Ｃ．ａ＜１Ｄ．ａ＞１１２．已知函数ｆ′（ｘ）是偶函数ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ且ｘ≠０）的导函数，ｆ（－２）＝０，当ｘ＞０时，ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）＜０，则使不等式ｆ（ｘ）＜０成立的ｘ的取值范围是Ａ．（－∞，－２）∪（０，２）Ｂ．（－２，０）∪（０，２）Ｃ．（－２，０）∪（２，＋∞）Ｄ．（－∞，－２）∪（２，＋∞）二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．ｌｇ５２＋２ｌｇ２－（１２）－１＝ ▲ ．１４．已知Ｘ的分布列如图所示，则（１）Ｅ（Ｘ）＝０３，（２）Ｄ（Ｘ）＝０５８３，（３）Ｐ（Ｘ＝１）＝０４，其中正确的个数为 ▲ ．Ｘ－１０１Ｐ０．２０．３ａ１５．从１、３、５、７中任取２个数字，从０、２、４、６中任取２个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被５整除的四位数共有 ▲ 个．（用数字作答）１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３－６ｘ２＋２，若函数ｆ（ｘ）存在唯一零点ｘ０，且ｘ０＜０，则实数ａ的取值范围是 ▲ ．高二数学试题第２页（共４页）三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１７．（１０分）已知复数ｚ１与（ｚ１＋２）２－８ｉ都是纯虚数，复数ｚ２＝１－ｉ，其中ｉ是虚数单位．（１）求复数ｚ１；（２）若复数ｚ满足１ｚ＝１ｚ１＋１ｚ２，求ｚ．１８．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ｘ－１．（１）求函数ｆ（ｘ）的定义域，并判断函数ｆ（ｘ）的奇偶性；（２）若当ｘ∈［２，６］时，ｆ（ｘ）＞ｌｎｍ（ｘ－１）（７－ｘ）恒成立，求实数ｍ的取值范围．１９．（１２分）已知ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－３）２＋２ｌｎｘ，ａ∈Ｒ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线平分圆Ｃ：（ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝２的周长．（１）求ａ的值；（２）讨论函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与直线ｙ＝ｍ（ｍ∈Ｒ）的交点个数．２０．（１２分）甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在［４５，７５）内为优质品．从两个企业生产的零件中各随机抽出了５００件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：甲企业：分组［２５，３５）［３５，４５）［４５，５５）［５５，６５）［６５，７５）［７５，８５）［８５，９５］频数１０４０１１５１６５１２０４５５ 乙企业：分组［２５，３５）［３５，４５）［４５，５５）［５５，６５）［６５，７５）［７５，８５）［８５，９５］频数５６０１１０１６０９０７０５（１）已知甲企业的５００件零件质量指标值的样本方差ｓ２＝１４２，该企业生产的零件质量指标值Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），其中μ近似为质量指标值的样本平均数珋ｘ（注：求珋ｘ时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），σ２近似为样本方差ｓ２，试根据企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于７１９２的产品的概率．（精确到０００１）（２）由以上统计数据完成下面２×２列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过０００５的前提下认为两个企业生产的零件的质量有差异．高二数学试题第３页（共４页）甲厂乙厂总计优质品非优质品总计 附：参考数据：槡１４２≈１１９２，参考公式：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则Ｐ（μ－σ＜Ｘ＜μ＋σ）＝０６８２６，Ｐ（μ－２σ＜Ｘ＜μ＋２σ）＝０９５４４，Ｐ（μ－３σ＜Ｘ＜μ＋３σ）＝０９９７４；Ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）Ｐ（Ｋ２≥ｋ０）０５００４００２５０１５０１０００５００２５００１００００５０００１ｋ００４５５０７０８１３２３２０７２２７０６３８４１５０２４６６３５７８７９１０８２８２１．（１２分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完５局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为３４，乙获胜的概率为１４，各局比赛结果相互独立．（１）求甲在４局以内（含４局）赢得比赛的概率；（２）用Ｘ表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量Ｘ的分布列和均值．２２．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１，ｇ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ａ）．（１）若ｈ（ｘ）＝ｘ－ｇ（ｘ），ｘ＞０ｘｆ（ｘ＋１），ｘ{＜０，当ａ＝０时，求函数ｈ（ｘ）的极值．（２）当ａ≤１时，证明：ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）．高二数学试题第４页（共４页）高二数学试题参考答案及评分标准２０１９７一、选择题题 号１２３４５６７８９１０１１１２答 案ＡＢＣＡＤＢＢＣＢＣＡＤ二、填空题１３．－１ １４．１ １５．１９８ １６．（４，＋∞）三、解答题：１７．（１０分）解：（１）设ｚ１＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ），则（ｚ１＋２）２－８ｉ＝（ｂｉ＋２）２－８ｉ＝（４－ｂ２）＋（４ｂ－８）ｉ３分!!!!!!!!!!!!!!!由题意得４－ｂ２＝０４ｂ－８≠{０４分｀!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!∴ｂ＝－２∴ｚ１＝－２ｉ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）∵１ｚ＝１ｚ１＋１ｚ２∴ｚ＝ｚ１ｚ２ｚ１＋ｚ２＝（－２ｉ）×（１－ｉ）（－２ｉ）＋（１－ｉ）６分!!!!!!!!!!!!!!!!!＝－２－２ｉ１－３ｉ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!＝（－２－２ｉ）（１＋３ｉ）（１－３ｉ）（１＋３ｉ）＝２５－４５ｉ１０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１８．（１２分）解：（１）由ｘ＋１ｘ－１＞０，解得ｘ＜－１或ｘ＞１，∴函数ｆ（ｘ）的定义域为（－∞，－１）∪（１，＋∞），１分!!!!!!!!!任取ｘ∈（－∞，－１）∪（１，＋∞），ｆ（－ｘ）＝ｌｎ－ｘ＋１－ｘ－１＝ｌｎｘ－１ｘ＋１＝ｌｎ（ｘ＋１ｘ－１）－１＝－ｌｎｘ＋１ｘ－１＝－ｆ（ｘ），４分!!!!!!!!!!!!∴ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ｘ－１是奇函数．５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）当ｘ∈［２，６］时，ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ｘ－１＞ｌｎｍ（ｘ－１）（７－ｘ）恒成立，高二数学试题参考答案第１页（共４页）即当ｘ∈［２，６］时，ｘ＋１ｘ－１＞ｍ（ｘ－１）（７－ｘ）＞０恒成立．７分!!!!!!!!∴０＜ｍ＜（ｘ＋１）（７－ｘ）在ｘ∈［２，６］上恒成立．８分!!!!!!!!!!令ｇ（ｘ）＝（ｘ＋１）（７－ｘ）＝－（ｘ－３）２＋１６，ｘ∈［２，６］，由二次函数的性质可知：ｘ∈［２，６］时，ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（６）＝７，１０分!!!!!!!!!!!!!!!!∴０＜ｍ＜７．１２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１９．（１２分）解：（１）ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－３）２＋２ｌｎｘ，ｆ′（ｘ）＝２ａ（ｘ－３）＋２ｘ２分!!!!!!!!!!∴ｆ（１）＝４ａ，ｆ′（１）＝２－４ａ，所以曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线方程为ｙ－４ａ＝（２－４ａ）（ｘ－１）４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由切线平分圆Ｃ：（ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝２的周长可知圆心（３，２）在切线上，∴２－４ａ＝（２－４ａ）（３－１），∴ａ＝１２６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）由（１）知，ｆ（ｘ）＝１２（ｘ－３）２＋２ｌｎｘ（ｘ＞０）ｆ′（ｘ）＝ｘ－３＋２ｘ＝（ｘ－１）（ｘ－２）ｘ，令ｆ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝１或ｘ＝２当０＜ｘ＜１或ｘ＞２时，ｆ′（ｘ）＞０，故ｆ（ｘ）在（０，１），（２，＋∞）上为增函数；当１＜ｘ＜２时，ｆ′（ｘ）＜０，故ｆ（ｘ）在（１，２）上为减函数．８分!!!!!!!!由此可知，ｆ（ｘ）在ｘ＝１处取得极大值ｆ（１）＝２在ｘ＝２处取得极小值ｆ（２）＝１２＋２ｌｎ２１０分!!!!!!!当ｍ＞２或ｍ＜１２＋２ｌｎ２时，ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与直线ｙ＝ｍ有一个交点当ｍ＝２或ｍ＝１２＋２ｌｎ２时，ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与直线ｙ＝ｍ有两个交点当１２＋２ｌｎ２＜ｍ＜２时，ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与直线ｙ＝ｍ有３个交点．１２分!!２０．（１２分）解：（１）依据上述数据，甲厂产品质量指标值的平均值为：珋ｘ＝１５００×（３０×１０＋４０×４０＋５０×１１５＋６０×１６５＋７０×１２０＋８０×４５＋９０×５）＝６０，所以μ＝６０，σ２＝１４２，即甲企业生产的零件质量指标值Ｘ服从正态分布Ｎ（６０，１４２），２分!!!又σ槡＝１４２≈１１．９２，则，Ｐ（６０－１１．９２＜Ｘ＜６０＋１１．９２）＝Ｐ（４８．０８＜Ｘ＜７１．９２）＝０．６８２６，高二数学试题参考答案第２页（共４页）Ｐ（Ｘ≥７１．９２）＝１－Ｐ（４８．０８＜Ｘ＜７１．９２）２＝１－０．６８２６２＝０．１５８７≈０．１５９，５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!所以，甲企业零件质量指标值不低于７１．９２的产品的概率为０．１５９．６分!（２）２×２列联表：甲厂乙厂总计优质品４００３６０７６０非优质品１００１４０２４０总计５００５００１０００９分!!!!!!!!!!!计算Ｋ２＝１０００×（４００×１４０－３６０×１００）２７６０×２４０×５００×５００≈８．７７２＞７．８７９∴能在犯错误的概率不超过０．００５的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异．１２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２１．（１２分）解：用Ａ表示“甲在４局以内（含４局）赢得比赛”，Ａｋ表示“第ｋ局甲获胜”，Ｂｋ表示“第ｋ局乙获胜”，则Ｐ（Ａｋ）＝３４，Ｐ（Ｂｋ）＝１４，ｋ＝１，２，３，４，５．２分!!!!!!（１）Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ１Ａ２）＋Ｐ（Ｂ１Ａ２Ａ３）＋Ｐ（Ａ１Ｂ２Ａ３Ａ４）＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）＋Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）＋Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ａ４）＝（３４）２＋１４×（３４）２＋３４