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数学试题第1页，共8页56级高一下学期开学学情检测试题（数学）（满分150分，考试用时120分钟）请将答案写在规定的位置，并及时上传。超出答题区域不予得分。★祝考试顺利★一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设211zi（i是虚数单位），则z（）A．2B．3C．5D．232．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的75%分位数是（）A．7B．7.5C．8D．8.53．已知向量(1,2)a，(2,2)b，(,1)c，若//(2)cab，则（）A．2B．1C．12D．124．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”5．已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为53cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为（）A．8cmB．53cmC．10cmD．5cm6．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A．316B．34C．1316D．147．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2AEEO，则ED（）数学试题第2页，共8页A．1233ADABB．2133ADABC．2133ADABD．1233ADAB8．ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且13AMAB，2b，273CM，2sinsinsin2ABcBb，则ABCS（）A．334B．3C．23D．833二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比），则下列说法正确的是（）A．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D．2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减10．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．10,45,70bACB．45,48,60bcBC．14,16,45abAD．7,5,80abA数学试题第3页，共8页11．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为a，点,,EFG分别棱楼111,,ABAACD的中点，下列结论中正确的是（）A．四面体11ACBD的体积等于312aB．1BD平面1ACBC．11//BD平面EFGD．异面直线EF与1BD所成角的正切值12．点O在ABC所在的平面内,则以下说法正确的有()A．若0OAOBOC,则点O为ABC的重心B．若0ACABBCBAOAOBACABBCBA,则点O为ABC的垂心C．若()()0OAOBABOBOCBC,则点O为ABC的外心D．若OAOBOBOCOCOA,则点O为ABC的内心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为_______.14．若复数z满足23i,zz其中i为虚数单位，z为z的共轭复数，则z在复平面内对应的点位于第_____象限.15.已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为__________．16.已知O是ABC外接圆的圆心，若4560OAOBOC，则cosC__________．填空题答题区：13.14.15.16.数学试题第4页，共8页四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数2z(m5m6)(m2)i（mR）．（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．17.解：18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11BDAF，1111ACAB.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.18.证明：数学试题第5页，共8页19．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知coscos30(sin)cosCAAB.（1）求角B的大小；（2）若1ac，求b的取值范围．19.解：20．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1数学试题第6页，共8页（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．20.解：数学试题第7页，共8页21.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x，（1020x≤≤，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元.（1）求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580760]，内的概率.21.解：数学试题第8页，共8页22.如图，直三棱柱111ABCABC中，090BAC，ABAC=1，,DE分别为1AA、1BC的中点.（1）证明：DE平面11BCCB；（2）已知1BC与平面BCD所成的角为030，求二面角1DBCB的余弦值.22.解：数学试题答案第1页，共8页56级高一下学期开学学情检测试题（数学）答案一、单项选择题：1．【答案】C【解析】()()()212112111iziiii−=+=+=−++−，因此，()22215z=+−=.故选：C.2．【答案】C【解析】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75%107.5=，所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.故选：C3.【答案】A【解析】()1,2a=，()2,2b=−()24,2ab+=()//2cab+24=−，解得：2=−，故选：A4.【答案】D【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；故选：D5.【答案】B【解析】蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点A，爬行的最短路程长为1AA如图作1OCAA⊥，由圆锥的母线长为5cm，底面半径为53cm，所以1510233lAA===cm，由lOA=，所以23=即123AOA==，所以3AOC=故53sin2ACOAAOC==cm所以1253AACA==cm故选：B6.【答案】C【解析】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，数学试题答案第2页，共8页灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，灯泡不亮的概率是111111111322222222216111222++=，灯亮和灯不亮是两个对立事件，灯亮的概率是31311616−=，故选：C．7.【答案】C【解析】画出图形，如下图．选取,?ABAD为基底，则()211333AEAOACABAD===+，∴()121 333EDADAEADABADADAB=−=−+=−．故选C．8.【答案】B【解析】ABC中，2sinsinsin2ABcBb−=，∴2sinsinsinsin2sinABCBB−=，∴2sincos2sinsinCBAB=−，∴()2sincos2sincoscossinsinCBBCBCB=+−，∴1cos2C=，又()0,C，∴60C=；又13AMAB=，∴()1133CMCAAMCAABCACBCA=+=+=+−2133CACB=+，∴32CMCACB=+，∴222944CMCACBCACB=++；∴228164aa=++，解得2a=或6a=−（不合题意，舍去），∴ABC的面积为122sin6032ABCS==.故选：B.二、多项选择题：9.【答案】ABC【解析】由图易知A，B正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018数学试题答案第3页，共8页年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确；2018年1月至5月的同比数据均为正数，故2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D错误.故选：ABC10.【答案】BC【解析】对于选项A中：由45,70AC==，所以18065BAC=−−=，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为csin83sin115BCb==，且cb，所以角C有两解；对于选项C中：因为sin42sin17bABa==，且ba，所以角B有两解；对于选项D中：因为sinsin1bABa=，且ba，所以角B仅有一解.故选：BC.11.【答案】BD【解析】延长EF分别与11BA，1BB的延长线交于N，Q，连接GN交11AD于H，设HG与11BC的延长线交于P，连接PQ交1CC于I，交BC于M，连FH，HG，GI，IM，ME，11BD与HG相交，故11BD与平面EFG相交，所以C不正确；1⊥BDAC，11BDBC⊥，且AC与1BC相交，所以1BD⊥平面1ACB，故B正确；平移可得异面直线EF与1BD的夹角的正切值为22，故D正确；四面体11ACBD的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323aaa−=，故A不正确．故选：BD12.【答案】AC【解析】选项A，设D为BC的中点，由于()2OAOBOCOD=−+=−，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为ABC的重心；选项B，向量,||||ACABACAB分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为AC和AB，则它们的差是向量BC，则当0||||ACABOAACAB−=，即OABC⊥时，点O在BAC数学试题答案第4页，共8页的平分线上，同理由0||||BCBAOBBCBA−=，知点O在ABC的平分线上，故O为ABC的内心；选项C，OAOB+是以,OAOB为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB｜｜是该平行四边形的另一条对角线，()0ABOAOB+=表示这个平行四边形是菱形，即||||OAOB=，同理有||||OBOC=，于是O为ABC的外心；选项D，由OAOBOBOC=得0OAOBOBOC−=，∴()0OBOAOC−=，即0OBCA=，∴OBCA⊥．同理