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1（理科数学，共4页）2018-2019学年高二下学期4月月考(理数)满分150分时间120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A．194B．174C．154D．1342．欧拉公式𝒆𝒊𝒙=𝐜𝐨𝐬𝒙+𝒊𝐬𝐢𝐧𝒙(𝒊为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，𝒆𝟐𝒊表示的复数位于复平面中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A.0B.1C.2D.34．有一段“三段论”，其推理是这样的“对于可导函数)(xf，若0)(0=xf，则0xx=是函数)(xf的极值点，因为函数3)(xxf=满足0)0(=f，所以0=x是函数3)(xxf=的极值点”，以上推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误5．下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某种药物先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由得出C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列6．用反证法证明:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的假设为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都是奇数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数22211,132,1353,=+=++=1+235(21)nn+++−=(0)nnacqcq={}na{2}n−2（理科数学，共4页）7．设直线xy=与曲线3xy=所围成的封闭图形的面积为S，某同学给出了关于S的以下五种表示：①130()Sxxdx=−；②0312()Sxxdx−=−；③131()Sxxdx−=−；④013310()()Sxxdxxxdx−=−+−；⑤131||Sxxdx−=−，其中表示正确的序号是（）A．①③B．④⑤C．②④⑤D．②③④⑤8．在31()2nxx−的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（）A．255B．255−C．28−D．289．一个五位自然数12345aaaaa，{0,1,2,3,4,5,6},1,2,3,4,5iai=，当且仅当123345,aaaaaa时称为“凸数”（如12543，34643等），则满足条件的五位自然数中“凸数”的个数为（）A．81B．171C．231D．37110．已知点P是曲线2ln0xyx−−=上的点，则点P到直线2−=xy的最小距离为（）A．1B．23C．25D．211．复数201912iz−=，则z是()A.1B.2C.22019D.2—201912．函数2ln(23)(xyaexae=−+−为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数a的取值范围是（)A．(,e−B．(,1−C．[0,]eD．]1,0[3（理科数学，共4页）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上）13．若曲线xye−=上点处的切线平行于直线210xy++=，则点的坐标是________.14．已知2'1()2(2018)2018ln2fxxxfx=++，则'(2018)=f．15．不定方程12xyz++=的非负整数解的个数为.16．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，17题10分，18到22题每题12分，共70分）17．安排四名大学生到A，B，C三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．(1)求四名大学生中恰有两人去A校支教的概率；(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．18．（1）解方程()11xxCx+=−；（2）计算：22112xxdxx+−；19．已知函数31()443fxxx=−+；(1)求出函数()fx的极值；(2)求出函数()fx在区间[-3，4]上的最大值和最小值；(3)讨论方程31443xxa−+=的根的情况.PP4（理科数学，共4页）20．(1)已知11123xyiii+=+−+，求实数,xy的值；(2)已知12,zzC，若121234,5,zizzz=+=是纯虚数，求2z.21．2012(1)(1)(1)(1)nnnxaaxaxax+=+−+−++−（1）求0a及12323nnSaaana=++++；（2）试比较nS与3n的大小，并说明理由.22．已知函数2()ln,,fxxxkxxab=−−是函数()fx的两个极值点ab.(1)求k的取值范围;(2)证明:2abe.5（理科数学，共4页）2018-2019学年高二下学期4月月考(理数)一、选择题1．答案D解析∵s(t)＝t2＋3t，∴s′(t)＝2t－3t2，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－34＝134.2．答案B解析由题意可得：𝒆𝟐𝒊=𝐜𝐨𝐬𝟐+𝒊𝐬𝐢𝐧𝟐，对应复平面内(𝐜𝐨𝐬𝟐,𝐬𝐢𝐧𝟐)位于复平面中的第二象限.本题选择B选项.3．答案D4．答案A5．答案D6．答案D解析自然数a,b,c的奇偶性有四种情形：三个都是奇数；一个奇数两个偶数；两个奇数一个偶数；三个都是偶数．故否定“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”时的反设为“a,b,c中都是奇数或至少两个偶数”．选D．7．答案C8．答案B9．答案C10.答案D解析点P是曲线0ln2=−−xyx上的点，当点P的切线和直线2−=xy平行时，点P到直线2−=xy的距离最小，又直线2−=xy的斜率为1，令21ln2yxxyxx=−=−，令1y=，即121xx−=，解得1x=或12x=−（舍去），故6（理科数学，共4页）曲线2lnyxx=−上和直线2−=xy平行的切线经过切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线2−=xy的距离为2，即点点P到直线2−=xy的最小距离为2.11．答案A12．答案B二、填空题13．答案(ln2,2)−14．答案—201915．答案：9116．答案(－1,0)解析若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a0，当x∈(－1，a)时，f′(x)0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1a0，当x∈(－1，a)时，f′(x)0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)0，当x∈(a，－1)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．所以a∈(－1,0)．三、解答题：17．解(1)所有可能的方式有34种，恰有2人到A校的方式有C24·22种，从而恰有2人到A校支教的概率为C24·2234＝827.(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝334＝127，P(ξ＝2)＝C23(24－2)34＝1427，P(ξ＝3)＝C13C24C1234＝49(或P(ξ＝3)＝C24A3334＝49)．综上可知，ξ的分布列如下表：ξ123P12714274918．解：()()()2222312123322zimimimmimimi=+−+−−=+−−−+()()2223232.mmmmi=−−+−+7（理科数学，共4页）（1）由222320320mmmm−−=−+，得12m=−，即12m=−时，z是纯虚数．（2）由，得，即时，z在复平面内对应的点在第二象限.（3）由()()222323250mmmm−−−−+−=，得，即时，z在复平面内对应的点在直线50xy−−=上.19.答案教材29页例题20．考点：复数运算21．(Ⅰ)解：取1=x，可得na20=对等式两边求导，得123211)1()1(3)1(2)1(n−−−++−+−+=+nnnxnaxaxaax取2=x，则1321332−=+++=nnnnnaaaaS．…………………5分(Ⅱ)要比较nS与3n的大小，即比较：1-n3与2n的大小，当n=1时，1-n32n=；当n=2时，1-n32n；当n=3时，1-n32n=；当n=4，5时．1-n32n…………………6分猜想：当n≥4时，1-n32n，下面用数学归纳法证明：（i)当n=4时,41-4216273==,猜想成立，+−−−023023222mmmm121−m)1,21(−m3=m3=m8（理科数学，共4页）(ii)假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k﹣1＞k2，当n=k+1时，11)1333−−+=kk（＞3k2．而3k2﹣（k+1）2=2k2﹣2k﹣1=2k（k﹣1）﹣1≥2×4×3﹣1=23＞0，∴3（k+1）﹣1＞3•3k﹣1＞3k2＞（k+1）2，故当n=k+1时猜想也成立，综合（i)(ii)，当n≥4时，不等式3n﹣1＞n2成立．综上，当n=1时，1-n32n=；当n=2时，1-n32n；当n=3时，1-n32n=；当n≥4时，1-n32n.…………………12分22.