高中微积分课堂教学策略及设计探究

高中微积分课堂教学策略及设计探究庄河第三高级中学刘洪全指导教师曹锡军我们来分析高中数学课堂中，组织微积分教学应遵循的一些原则和策略，根据学生学习微积分可能出现的困难，探索一些可行的突破方案一．组织微积分教学应采取的策略（1）不断加强变量概念的教学，树立以变量为思维对象的数学观由于学生在长期的数学学习中接触的均为常量，即使在高中阶段系统学习函数、自变量，并研究了一些基本函数的性质和图象，但其思维和认识方式仍然比较习惯于常量，常量数学在头脑中已根深蒂固。所以在组织教学时，需加强变量概念的教学，让学生逐步熟悉和适应变量，并能思考变化过程。当然，这就需要我们在教学中要特别注意将变量及其变化讲解清楚。（2）要以直观描述为主，鼓励“合情推理”和“合情猜想”其实这也是笔者认为的微积分在中学教学中较为合理的定位。对此部分的教学应当以直观性的描述为主，以掌握方法、计算为主，对理论上的严谨性不宜要求过高，更无须严格的证明。涉及的一些概念和结论，既要使学生正确地理解和掌握，也要适可而止。例如，极限中最基本的一个结论，学生通过作图很容易从孤立点的变化趋势得到此结论。学生此时“合情推理”并得到的“合情猜想”，在高中阶段的学习便已经足够了，无须用数学分析的方法加以论证。当然，如果学生确有兴趣和余力，可引入“N”定义并用此论证。（3）防止微积分教学退化成仅让学生记住一些公式和结论考虑到高中生的实际水平，不需要在理论上过分要求严格。但无论是用直观图形引入还是给予一定的推理，都应让学生主动的参与，引导学生观察和发现图形的“变化趋势”或亲自动手进行推导，这样才有利于培养学生的“变量思维”，感受微积分的内涵和与初等数学的差异。否则，如果为了“体贴”学生或纯粹的“应试心理”，微积分教学变成了让学生在不理解的状况下死记一些公式和结论，那么在高中教授微积分就失去了意义和价值，学生的能力也不会提高。（4）处理好微积分与初等数学的关系在学习导数和定积分的应用时，学生会发现微积分是一个较初等数学厉害的工具，能比较容易地解决用初等数学方法十分繁琐和困难的问题，而教师也可能会在解题的演示中传达这样的讯息。一方面，学生可以掌握更为简便的方法，并产生对微积分的兴趣；但另一方面，也可能对他们的学习心态及思考能力带来负面的影响。如果学生过分依赖微积分，则可能失掉许多观察与思考的机会，懒于从多种途径考虑问题，更不可能产生奇思妙解，反而不利于培养学生的创造能力。所以教师应有意识地引导学生在思考解决某些问题，如判断函数在给定区间的单调性和极值，除了微积分也能适当用初等数学的方法去入手。二．微积分教学设计的一些构思在本小节中我们将探索一些为突破微积分教学中的难点而具体设计的方案。（1）极限的难点在于数列极限的概念。为了让学生更好地理解和掌握这一概念，应加强直观性，从分析一些基本的数列入手。如分析数列的极限，并充分利用数轴和表格来进行定性分析和定量分析，把“无限增大”和“无限趋进”给予确切的描述。而重点中学的实验班或数学提高班的课堂上，则可以引入“N”的定义，加深对极限概念的理解。（2），有一点大部分人都曾经历过：当时并不清楚为什么要学习微积分，直到学习快要结束进入微积分的应用时，才有所感悟。笔者在学习“数学分析”时也有同感。实际上，微积分正是在一些数学问题用初等数学长期无法解决的情况下才产生的。所以，如果在正式教学前就先将这些问题展示给学生，让学生带着问题来学习，则不仅很自然地过渡到微积分的学习，而且能让学生理解学习微积分的必要性，产生兴趣，并为“导数的应用”和“定积分的应用”埋下伏笔。对此，可以如下设计：在进入导数的教学之前，先引领学生对“初等数学的内容，方法及其意义是什么”这个大问题作出反省、思考及整理，以此为基础，提出如下问题：我们已有的工具能够处理所有的问题吗？哪些问题还无法解决呢？然后引出下列题材：①较复杂的非典型几何图形（几何体）的面积（与体积）的计算②过曲线上一点切线的一般求法③函数图形的描绘④近似的估计然后带着问题进入到微积分的学习。（3）复合函数是高一学生学习的难点，所以预计复合函数的导数也将是学生容易出错的地方，关键是有一些学生不会合理地引入中间变量，函数的复合过程中各个环节分别是什么样的函数关系没有搞清楚。对此，笔者认为应先让学生多做一些分解函数复合过程的练习，然后按照复合过程逐步计算出复合函数的导数。待分步动作熟练之后再省略中间过程。三．教学设计中对人教版教材的改进通过对比阅读人教版教材和上海市中学普遍使用的华东师大版“一期课改”教材（参见[7]），笔者认为：使用人教版教材讲授微积分的开篇部分——引入变化率和导数，可以在原教材的基础上加以改进。两种教材都是利用物体作自由落体运动这个模型，通过求某一时刻的“速度”得到的。但人教版对于“时间越小时，用其平均速度近似表示的‘速度’就越精确”这一关键的结论的推导，是通过化解再利用极限思想。而华东师大版教材的处理方法，则是先不要转化，而将分别取某些值，求得平均速度，然后将数据列成表格。通过数据的比较，学生首先可以清楚地看出物体在各段时间的平均速度是不同的，并直观地感受到“趋于0时，平均速度趋于的速度”。这种直观的方式能帮助学生构建此结论，也符合大纲要求教学尽量直观形象的原则。所以在实际教学时，有必要采用这种“实验”的方式（表格中g表示重力加速度）。(秒)(米)-4(秒)(米)=（米/秒）4.18.405g0.10.405g4.05g4.018.04005g0.010.04005g4.005g4.0018.0040005g0.0010.0040005g4.0005g4.00018.000400005g0.00010.00400005g4.00005g……………五、结束语如何进行微积分教学在高中数学是一个全新的课题，相对于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟，处于摸索的阶段。但也正因为如此，探讨微积分的教学才更有价值和意义。本论文也就是在这样的背景下，在阅读了一些前辈关于微积分教学看法的文章和书籍后，根据自己的理解写成的。在此，也对这些老师表示感谢。参考文献[1]十三所师范大学．中学数学教材教法．上海：华东师范大学出版社,1982[2]陈昌平．数学教育比较与研究．上海：华东师范大学出版社,1995[3]丁尔升、唐复苏．中学数学课程导论．上海：上海教育出版社，1994[4]张奠宙、李士琦、李俊．数学教育学导论．北京：高等教育出版社,2003[5]中学数学教材研究．北京：北京师范大学出版社，1987[6]饶汉昌、薛彬等．全日制普通高级中学教科书·数学选修Ⅰ．北京：人民教育出版社，2003[7]饶汉昌、薛彬等．全日制普通高级中学教科书·数学选修Ⅱ．北京：人民教育出版社，2003[8]陈昌平．高级中学课本数学三年级（实验本）．上海：华东师范大学出版社，2001[9]全日制普通高级中学数学教学大纲．[10]2004年高考数学(理科)考试大纲(新课程版)．[11]2004年高考数学(文科)考试大纲(新课程版).附录一、新大纲有关“微积分”的要点和教学目标选修Ⅰ1．极限与导数（20课时）数列的极限。函数的极限。极限的四则运算。导数的概念。多项式函数的导数。导数的应用：变化率。利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。微积分建立的时代背景和历史意义。教学目标（1）从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念。（2）掌握极限的四则运算法则，并会求某些数列与有理函数的极限。（3）理解导数概念及其几何意义；掌握函数的导数公式；会求多项式函数的导数。（4）会用导数求变化率；理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。（5）通过函数极限与导数的教学，了解微积分建立的时代背景和历史意义，进行客观事物的相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系等观点的教育。选修Ⅱ1．极限（12课时）数学归纳法。数学归纳法应用举例。数列的极限。函数的极限。极限的四则运算。函数的连续性。教学目标（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。（2）从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念。（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限。（4）了解连续的意义，借助几何直观理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。2．导数与微分（16课时）导数的概念。导数的几何意义。几种常见函数的导数。两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。基本导数公式。微分的概念与运算。利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。教学目标（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。（2）熟记基本导数公式（（为有理数）,的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。（3）理解微分的概念，了解函数在一点处的微分是函数增量的线性近似值，会求某些简单函数的微分。（4）会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。3．积分（14课时）定积分的概念。定积分的简单性质。微积分基本公式。原函数与不定积分的概念。不定积分的线性性质。基本积分公式。平面图形的面积。旋转体的体积。路程问题。变力作功。微积分学建立的时代背景和历史意义。教学目标（1）了解定积分概念的某些实际背景（如变速直线运动的路程，曲边梯形的面积等）；了解定积分的定义和定积分的几何意义；知道函数连续是定积分存在的充分条件。（2）理解定积分的简单性质（线性性质和对区间的可加性）；了解微积分基本公式（牛顿-莱布尼兹公式），会用它来求一些函数的定积分。（3）掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质；熟记基本积分公式（（为有理数）,的积分）；会利用线性性质和基本积分公式求较简单的函数的不定积分。（4）会用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力所作的功。（5）通过微积分初步的教学，了解微积分学产生的时代背景和历史意义，进行客观事物相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系等观点的教育。附录二、2003年高考数学考试说明对于“微积分”的要求文史类导数考试内容导数的背景。导数的概念。多项式函数的导数。利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。考试要求（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。（3）掌握函数的导数公式。会求多项式函数的导数。（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。（5）会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题。理工农医类极限考试内容数学归纳法。数学归纳法应用举例。数列的极限。函数的极限。极限的四则运算。函数的连续性。考试要求（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。（2）了解数列极限和函数极限的概念。（3）掌握极限的四则运算法则。会求某些数列与函数的极限。（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。导数导数的概念。导数的几何意义。几种常见函数的导数。两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。基本导数公式。利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。考试要求（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。（2）熟记基本导数公式（（为有理数）,的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。（3）了解可导函数的单调性