高中数学数列考试分析与复习应对策略

东莞高级中学高三数学备课组目录一、知识结构二、近三年高考（广东）数列内容分布统计三、数列新旧大纲的比较四、考点预测五、题型示例六、关于数列应用题七、2007年高考数学复习策略数列一、知识结构等差数列数列等比数列通项公式前n项公式通项公式前n项和公式数列的应用函数思想数列函数列等差数列等比数列一次函数指数函数类比类比类比特殊化特殊化推广函数实数二、近三年高考（广东）数列内容分布统计表年号题号所占分值重点考察的知识点及知识点交汇情况所占比例200445数列求和，数列的极限11.3%1712数列与三角的交汇：等比数列的性质，三角变换2005105递推数列，数列的极限6.7%145数列与几何的交汇：在几何问题下归纳数列的通项公式200665等差数列前n项和的性质16%145数列的通项公式，现实问题中归纳数列的通项公式1914等比数列的前n项和，等差数列的概念，等差数列的前n项和，数列的极限三数列新旧大纲的比较内容2006年考试大纲2007年考试大纲（送审稿）变化分析数列的概念和简单表示法理解数列的概念了解数列的概念数列的概念由“理解”变为“了解”；了解数列通项公式的意义.了解数列的几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）了解数列是自变量为正整数的一类函数①增加了数列的列表和图像表示；②突出了数列的函数属性了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.无（实际上要求并没有变化）事实上课本35—36页已给出了递推公式的概念，并明确指出，递推公式也是数列的一种表示方法；紧接着，例3给定了递推公式，要求写出这个数列的前5项等差数列理解等差数列的概念理解等差数列的概念没有变化掌握等差数列的通项公式与前n项和公式掌握等差数列的通项公式与前n项和公式没有变化能利用等差数列解决简单的实际问题能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题没有变化无了解等差数列与一次函数的关系增加等差数列与一次函数的关系等比数列理解等比数列的概念理解等比数列的概念没有变化掌握等比数列的通项公式与前n项和公式掌握等比数列的通项公式与前n项和公式没有变化能利用等比数列解决简单的实际问题能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题没有变化无了解等比数列与指数函数的关系增加等比数列与指数函数的关系综上可见，新的考试大纲突出了数列的函数属性的考察。2007年数学科高考题型仍是选择题、填空题、解答题，整卷设计由易到难，每种题型亦由易到难的编排方式，以充分发挥三种题型的区分选拔功能。选择题侧重于双基的考查，同时贯穿数学思想方法的四、考点预测（一）总体预测2007年的高考命题既有国家考试中心命题，同时也有部分省市自主命题，但是他们都必须遵循《考试大纲》的要求。按照“在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值”的原则，确立以能力立意命题的指导思想。考查，例如：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等。对于填空题而言，可能出现开放题或小综合题，主要表现为多项选择、试验发现、归纳猜想等问题。对于新内容的考察将以选择填空题为主，解答题还是以老内容为主，解答题的考查仍然形式灵活多样，而且内涵及其丰富，既可在多个层次上考查基本知识、基本技能和基本思想方法，又能深入地考查数学能力和数学素质（突出应用意识、创新精神的考察），在知识点的考查上，解答题将主要集中在以下几个方面命题：①三角函数的有关求值计算问题；②数学应用题；③立体几何中平行与垂直的证明问题；④平面向量与平面解析几何（椭圆或圆为主）的综合题；⑤数列函数综合题；⑥导数的性质及其应用。在设问方式上，还是以一题多问，层层推进的方式为主（个别大题不排除各问之间的独立性）。设问的起点较低，解题的突破口较易，解答题更加注重在知识网络的交汇点处设计试题。凸现知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系。从近几年的高考试卷中可以看出，高考对教材中的新增内容的考察是递进式的，非一步到位的，所以预测2007年对新增内容，如幂函数、算法、统计案例、程序框图等难度将不会很大，但肯定会有所体现，这一命题趋势在今后的高考中将不会有大的改变。2007年数学高考试题分为必做题和选做题，必做题考查必考内容，选做题考查选考内容，其中选做题为填空题，分数约占全卷的4%，考生在试卷给出的两道选做题中选择其中一道作答.试卷包括容易题、中等题和难题，以中等题为主.试卷的难度系数在0.55左右.但基础题的题量将不会改变，难题主要以解答题压轴题的形式出现，这样更有利于高校选拔优秀人才。（二）数列预测命题趋势预测：①选择题或填空题仍以考查等差数列、等比数列的概念（要注意数列的图表、图像表示）以及基本性质，同时，也考查数列通项公式的求法，尤其要注意归纳—猜想题型。这种利用归纳和类比进行推理的题型在历届的高考中已经出现过（主要出现在填空题的最后一题，即16题，如今年的第16题），估计在2007年的高考试题中会将这种思想方法体现得更加林淋漓尽致．因而，在复习过程中加大对这种题型的训练是很有必要的．②解答题主要考查数列的综合应用为主，可能考到的题型有：等差数列和等比数列的综合题，与数列相关的归纳、猜想、证明问题，同时注重在数列与函数、数列与不等式、数列与几何、数列与向量等知识网络的交汇点命制试题，具有较强的考查思维能力的功能。③数列中与的关系一直是高考命题的亮点。要掌握在如下三种递推关系下，数列通项公式的求法。即，，。构造等差或等比数列是解决此类问题的有效方法。④求和问题也是常见的试题。等差数列、等比数列以及可转化为等差、等比数列的求和问题应熟练掌握。另外，还应掌握一些特殊数列的求和方法，例如错位相减法、倒序相加法、拆（并）项求和法、裂项求和法。⑤数列应用题。尤其对于文科来说，概率出解答题的几率微乎其微，或许预示着应用题的考察将要作一次历史的回归。)(1nnafa)(1nnSfS))((NnafSnnnSna五、题型示例题例1（）A．1B．2C．4D．8200010200743,4020}{aaaaaan则中，等差数列评析：此题重点考察等差数列的性质，几乎所有学生都能做出此题，但显然不同水平的学生所采用的方法是不同的，所用的时间也是不同的，有的学生可能会选择设出通项公式，整体代换去做，有的同学可能选择利用“中项”的性质去做，还有的同学会根据选择题“四选一”答案唯一的特点，利用“特殊数列（如常数列）法”来做，但这显然是本题最简洁实用的解法。所以尽管此题简单，但仍然显示了良好的区分度。题型示例题例2如上图所示，第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的。记第n个图形的顶点数为，则=。图1图2图3图42005a,7642,6530,5420,43124321aaaa403005620082007......)3,2,1()3)(2(2005annnan解：由图易知：从而易知，,........)3,2,1(nan题型示例评析：求解几何计数问题通常采用“归纳—猜想—证明”解题思路。本题也可直接求解。第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的，这个图形共由n+3个n+2边形组成，而每个n+2边形共有n+2个顶点，故第n个图形的顶点数为403005620082007......)3,2,1()3)(2(2005a，nnnan解决此类问题需要较强的观察能力及快速探求规律的能力。因此，它在高考中具有较强的选拔功能。题型示例题例3,.....)3,2,1(,.......,,2,1,naaannnn)2(2,Nnnan且............................................511141154774343221如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n－1行与之相邻的两个数的和，分别表示第n行的第一个数，第二个数，…….第n个数。的通项式为。解：由图易知.,.........11,7,4,22,52,42,32,2aaaa从而知}{2,na是一阶等差数列，即)1.......(1...............................)3......(4)2......(3)1......(22),1(2,2,42,52,32,42,22,3nnaaaaaaaann以上n-1个式相加即可得到：)2(2222)2)(1(2)2)(1()1(.......43222,2,2,22,Nnnnnannannnaannn且即评析：杨辉三角在选修教材的练习题中出现过，“杨辉三角”型数列创新题也是近年高考创新题的热点问题。求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶（或二阶）等差数列结合求和方法来求解。有兴趣的同学不妨求出的通项式。),(*j，iNjiaij题型示例题例4已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2，且对定义域中的任意x，有f(x＋2)＝－f(2－x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足：当n＝1时，a1＝f(1)＝2，试写出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明(文科不作要求)。).25(21)(222nnafSnnn时，当分析:对(1)，由条件知f(x)与参数a、b有关，这显然可利用方程的思想来解决，求解（2）的首要问题时探求an的表达式，一个本能的念头是怎样促使条件)(naf明朗化，显然这只须将具体化即可。不难想到在（1）中我们已获得了函数f(x)的解析式，那么f(an)当然极易写出来了．当我们获得Sn与an的明显关系式后，便可通过试验、归纳、猜想出an的表达式，再用数学归纳法证明即可．)25(21)(22nnafSnn解:(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)，得(ax－1)f(x)＝b．若ax－1＝0，则b＝0，这与b≠0矛盾．01ax1)(axbxf.1)2(1)2(xabxab故,于是，由于f(1)＝2，故有2a＝b＋2(1)又f(x＋2)＝－f(2－x)，即化简得代入（1）得21a.22)(,1xxfb（2）当时，将代入整理得当时，有2nnnaaf22)()25(21)(22nnafSnn).25(212nnaSnn2n)2104(21221aaa由于a1＝f(1)＝2，所以a2＝3．同理可得a3＝4，a4＝5．由此猜想：通项公式为an＝n＋1，(n∈N*)．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝2，n＋1＝1＋1＝2，猜想正确．(2)假设n＝k时，猜想正确，即ak＝k＋1成立．此时必有则当时，有1kn)25(212kkaSkk].2)1(5)1[(21211kkaSkk故]2)1(5)1[(21221kkaSkk1)1(242)1()25(21)87(21)25(21]2)1(5)1[(21]2)1(5)1[(2121222221kkakkkkkkakkkkSkkakkkk即当n＝k＋1时猜想也正确，∴对一切n∈N，an＝n＋1．评析:探求与函数解析式有关的数列通项问题，具有一定的综合性．利用求得的函数f(x)的解析式确定f(an)，为顺利求出an奠定了基础．数列是一类特殊的函数，因而数列问题常与函数、方程有关．善于调用函数与方程的思想研究数列问题，必将使我们对数列的认识更加全面，理解更加深刻,也将更能把握问题的实质。六、关于数列应用题从1993年起，高考数学试题强调了数学的应用意识，并连续两年在选择题、填空题中出现了应用题．自1995