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第1页，共10页一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列1，3，5，7，9，…的通项公式为()A.𝑎𝑛=2𝑛−1B.𝑎𝑛=1−2𝑛C.𝑎𝑛=3𝑛−1D.𝑎𝑛=2𝑛+1【答案】A【解析】【分析】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，考查等差数列的通项公式，属于基础题．仔细观察数列1，3，5，7，9，…，便可发现其中的规律：数列各项构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【解答】解：∵数列{𝑎𝑛}各项值为1，3，5，7，9，…∴各项构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴𝑎𝑛=2𝑛−1，故选A．2.函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑜𝑔2(𝑥−2)的定义域为()A.(2,+∞)B.[1,2)C.[1,2]D.(2,3)∪(3,+∞)【答案】D【解析】解：由𝑥≥0𝑥−20𝑥−2≠1，解得𝑥2且𝑥≠3．∴函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑜𝑔2(𝑥−2)的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．故选：D．由分母中对数式的真数大于0不等于1，根式内部的代数式大于等于联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.设𝑎=30.2，𝑏=0.23，𝑐=log0.23，则a，b，c的大小关系是()A.𝑎𝑐𝑏B.𝑏𝑐𝑎C.𝑏𝑎𝑐D.𝑎𝑏𝑐【答案】D【解析】解：∵𝑎=30.21，0𝑏=0.231，𝑐=log0.230，∴𝑎𝑏𝑐．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查推理能力与了计算能力，属于中档题．4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为()A.𝑦=𝑥−1B.𝑦=𝑙𝑛𝑥C.𝑦=𝑥3D.𝑦=|𝑥|【答案】C【解析】解：选项A：𝑦=𝑥−1=1𝑥在(0,+∞)上单调递减，不正确；选项B：定义域为(0,+∞)，故为非奇非偶函数，不正确；第2页，共10页选项C：满足𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，且在区间(0,+∞)上单调递增，正确；选项D：𝑓(−𝑥)≠−𝑓(𝑥)，故𝑦=|𝑥|不是奇函数，不正确．故选C．本题考查了函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题．5.已知函数𝑓(𝑥)=log3(1−𝑎𝑥)，若𝑓(𝑥)在(−∞,2]上为减函数，则a的取值范围为()A.(0,+∞)B.(0,12)C.(1,2)D.(−∞,0)【答案】B【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)=log3(1−𝑎𝑥)，若𝑓(𝑥)在(−∞,2]上为减函数，∴𝑦=1−𝑎𝑥在(−∞,2]上满足𝑦0且函数y单调递减，故1−2𝑎0，且−𝑎0，求得0𝑎12，则a的取值范围为(0,12)，故选：B．由题意可得𝑦=1−𝑎𝑥在(−∞,2]上满足𝑦0且函数y单调递减，故有1−2𝑎0，且−𝑎0，由此求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．6.已知sin(𝜋3+𝛼)=13，则cos(5𝜋6+𝛼)=()A.13B.−13C.223D.−223【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．利用诱导公式可得，利用条件求得结果．【解答】解：cos(5𝜋6+𝛼)=cos[𝜋2+(𝜋3+𝛼)]=−sin(𝜋3+𝛼)=−13，故选B．7.已知等差数列{𝑎𝑛}，𝑎3=6，𝑎5=10，则𝑆7=()A.60B.56C.40D.36【答案】B【解析】解：∵等差数列{𝑎𝑛}，𝑎3+𝑎5=𝑎1+𝑎7=6+10=16．则𝑆7=7(𝑎1+𝑎7)2=7×8=56．故选：B．利用等差数列的性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”第3页，共10页其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了()A.60里B.48里C.36里D.24里【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．由题意得：每天行走的路程成等比数列{𝑎𝑛}、且公比为12.由条件和等比数列的前项和公式求出𝑎1，由等比数列的通项公式求出答案即可．【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{𝑎𝑛}，且公比为12，∵6天后共走了378里，∴𝑆6=𝑎1(1−126)1−12=378，解得𝑎1=192，∴第三天走了𝑎3=𝑎1×(12)2=192×14=48．故选B．9.在平行四边形ABCD中，𝐴𝐵=𝑎,𝐴𝐷=𝑏,𝐴𝑀=4𝑀𝐶,𝑃为AD的中点，𝑀𝑃=()A.45𝑎+310𝑏B.45𝑎+1310𝑏C.-45𝑎-310𝑏D.34𝑎+14𝑏【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理及其应用，属于中档题.利用平面向量的基本定理结合图形即可用𝑎，𝑏表示𝑀𝑃．【解答】解：∵𝑀𝑃=𝐴𝑃−𝐴𝑀，𝐴𝑃=12𝐴𝐷=12𝑏，𝐴𝑀=45𝐴𝐶，𝐴𝐶=𝑎+𝑏，∴𝑀𝑃=12𝑏−45(𝑎+𝑏)=−45𝑎−310𝑏．故选C．10.将函数的图象向右平移𝜋4个单位后得到函数𝑔(𝑥)的图象，则𝑔(𝑥)具有性质()A.最大值为1，图象关于直线𝑥=𝜋2对称B.在0,𝜋4上单调递减，为奇函数第4页，共10页C.在−3𝜋8,𝜋8上单调递增，为偶函数D.周期为𝜋，图象关于点3𝜋8,0对称【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的平移变换和函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象与性质，属于中档题．根据函数图象的平移变换得𝑔(𝑥)解析式，再结合三角函数的性质即可求得结果．【解答】解：由题意得，𝑔(𝑥)=sin2𝑥−𝜋4−𝜋2=sin(2𝑥−𝜋)=−𝑠𝑖𝑛2𝑥，对于A，最大值为1正确，而𝑔𝜋2=0，图象不关于直线𝑥=𝜋2对称，故A错误；对于B，当𝑥∈0,𝜋4时，2𝑥∈0,𝜋2，满足单调递减，显然𝑔(𝑥)也是奇函数，故B正确；C显然错误；对于D，周期𝑇=2𝜋2=𝜋，𝑔3𝜋8=−22，故图象不关于点3𝜋8,0对称，故选B．11.已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则满足𝑓(2𝑥−1)𝑓(13)的x的取值范围是()A.[12,23)B.(12,23)C.[13,23)D.(13,23)【答案】D【解析】解：由𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，由𝑓(2𝑥−1)𝑓(13)可得|2𝑥−1|13，解可得，13𝑥23，即不等式的解集(13,23).故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．12.已知幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚−1)2𝑥𝑚2−4𝑚+2在(0,+∞)上单调递增，函数𝑔(𝑥)=2𝑥−𝑡，∀𝑥1∈[1,6)时，总存在𝑥2∈[1,6)使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，则t的取值范围是()A.⌀B.𝑡≥28或𝑡≤1C.𝑡28或𝑡1D.1≤𝑡≤28【答案】D【解析】解：由𝑓(𝑥)是幂函数得：𝑚=0或2，而𝑓(𝑥)=(𝑚−1)2𝑥𝑚2−4𝑚+2在(0,+∞)上单调递增，则𝑓(𝑥)=𝑥2，𝑥∈[1,6)时，𝑓(𝑥)∈[1,36)，𝑥∈[1,6)时，𝑔(𝑥)∈[2−𝑡,64−𝑡)，若∀𝑥1∈[1,6)时，总存在𝑥2∈[1,6)使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，则[1,36)⊆[2−𝑡，64−𝑡)，第5页，共10页故2−𝑡≤164−𝑡≥36，解得：1≤𝑡≤28，故选：D．根据幂函数的定义以及函数的单调性求出𝑓(𝑥)的解析式，分别求出𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)的值域，问题转化为[1,36)⊆[2−𝑡，64−𝑡)，求出t的范围即可．本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，考查求函数的值域问题以及集合的包含关系，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑦=tan(2𝑥−𝜋4)的最小正周期为______．【答案】𝜋2【解析】解：函数𝑦=tan(2𝑥−𝜋4)的最小正周期为：𝑇=𝜋𝜔=𝜋2．故答案为：𝜋2．根据正切函数的图象与性质，求出函数𝑦=tan(2𝑥−𝜋4)的最小正周期．本题考查了正切型函数的最小正周期问题，是基础题．14.已知等比数列{𝑏𝑛}(𝑛∈𝑁∗)中，𝑏3=−8，𝑏6=64，则该等比数列的公比的值是______．【答案】−2【解析】解：根据题意，设等比数列{𝑏𝑛}的公比为q，若𝑏3=−8，𝑏6=64，则𝑞3=𝑏6𝑏3=−8，解可得：𝑞=−2，故答案为：−2．根据题意，设等比数列{𝑏𝑛}的公比为q，由等比数列的通项公式可得𝑞3=𝑏6𝑏3=−8，进而计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题．15.给出以下5个条件：①|𝑎⇀|=|𝑏⇀|；②𝑎⇀=𝑏⇀；③𝑎⇀与𝑏⇀的方向相反；④𝑎⇀与𝑏⇀都是单位向量；⑤|𝑎⇀|=0或|𝑏⇀|=0.其中能使𝑎⇀//𝑏⇀成立的是_____.(填序号)【答案】②③⑤【解析】【分析】本题考查向量平行的条件，逐一判断即可．【解答】第6页，共10页解：若|𝑎→|=|𝑏→|，则𝑎→ 与𝑏→的长度相等，而方向不确定，因此不一定有𝑎→// 𝑏→，所以①不正确;若𝑎→= 𝑏→，则𝑎→ 与𝑏→大小相等且方向相同，所以𝑎→// 𝑏→，所以②正确;方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若𝑎→ 与𝑏→方向相反，则有𝑎→// 𝑏→，所以③正确;单位向量只是模为1的向量，方向不定，所以不一定有𝑎→// 𝑏→，所以④不正确;零向量与任意向量平行，所以若|𝑎→ |=0或|𝑏→|=0，则𝑎→// 𝑏→，所以⑤正确．故答案为②③⑤．16.已知二次函数𝑓(𝑥)，对任意的𝑥∈𝑅，恒有𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=−4𝑥+4成立，且𝑓(0)=0.设函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑚(𝑚∈𝑅).若函数𝑔(𝑥)的零点都是函数ℎ(𝑥)=𝑓(𝑓(𝑥))+𝑚的零点，则ℎ(𝑥)的最大零点为______．【答案】4【解析】解：(1)设二次函数𝑓(𝑥)的解析式为𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，则𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥+2)2+𝑏(𝑥+2)+𝑐−(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)=4𝑎𝑥+4𝑎+2𝑏，由𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=−4𝑥+4得(4𝑎+4)𝑥+4𝑎+2𝑏−4=0恒成立，又𝑓(0)=0所以4𝑎=−44𝑎+2𝑏=4𝑐=0，所以𝑎=−1𝑏=4𝑐=0，所以𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥，设𝑥0为𝑔(𝑥)的零点，则𝑔(𝑥0)=0ℎ(𝑥0)=0，即−𝑥02+4𝑥0+𝑚=0−(−𝑥02+4𝑥0)2+4(−𝑥02+4𝑥0)+𝑚=0，即−𝑚2−4𝑚+𝑚=0，得𝑚=0或𝑚=−3，1°当𝑚=0时，ℎ(𝑥)=−(−𝑥2+4𝑥)2+4(−𝑥2+4𝑥)=−𝑥(𝑥−4)(𝑥2−4𝑥+4)所以ℎ(𝑥)所有零点为0，