第1页,共10页一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.数列1,3,5,7,9,…的通项公式为()A.𝑎𝑛=2𝑛−1B.𝑎𝑛=1−2𝑛C.𝑎𝑛=3𝑛−1D.𝑎𝑛=2𝑛+1【答案】A【解析】【分析】本题考查了数列的基本知识,考查了学生的计算能力和观察能力,考查等差数列的通项公式,属于基础题.仔细观察数列1,3,5,7,9,…,便可发现其中的规律:数列各项构成一个以1为首项,以2为公差的等差数列,从而易求出其通项公式.【解答】解:∵数列{𝑎𝑛}各项值为1,3,5,7,9,…∴各项构成一个以1为首项,以2为公差的等差数列,∴𝑎𝑛=2𝑛−1,故选A.2.函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑜𝑔2(𝑥−2)的定义域为()A.(2,+∞)B.[1,2)C.[1,2]D.(2,3)∪(3,+∞)【答案】D【解析】解:由𝑥≥0𝑥−20𝑥−2≠1,解得𝑥2且𝑥≠3.∴函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑜𝑔2(𝑥−2)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选:D.由分母中对数式的真数大于0不等于1,根式内部的代数式大于等于联立不等式组求解.本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题.3.设𝑎=30.2,𝑏=0.23,𝑐=log0.23,则a,b,c的大小关系是()A.𝑎𝑐𝑏B.𝑏𝑐𝑎C.𝑏𝑎𝑐D.𝑎𝑏𝑐【答案】D【解析】解:∵𝑎=30.21,0𝑏=0.231,𝑐=log0.230,∴𝑎𝑏𝑐.故选:D.利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查推理能力与了计算能力,属于中档题.4.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为()A.𝑦=𝑥−1B.𝑦=𝑙𝑛𝑥C.𝑦=𝑥3D.𝑦=|𝑥|【答案】C【解析】解:选项A:𝑦=𝑥−1=1𝑥在(0,+∞)上单调递减,不正确;选项B:定义域为(0,+∞),故为非奇非偶函数,不正确;第2页,共10页选项C:满足𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥),且在区间(0,+∞)上单调递增,正确;选项D:𝑓(−𝑥)≠−𝑓(𝑥),故𝑦=|𝑥|不是奇函数,不正确.故选C.本题考查了函数奇偶性和单调性的判断,属于基础题.5.已知函数𝑓(𝑥)=log3(1−𝑎𝑥),若𝑓(𝑥)在(−∞,2]上为减函数,则a的取值范围为()A.(0,+∞)B.(0,12)C.(1,2)D.(−∞,0)【答案】B【解析】解:∵函数𝑓(𝑥)=log3(1−𝑎𝑥),若𝑓(𝑥)在(−∞,2]上为减函数,∴𝑦=1−𝑎𝑥在(−∞,2]上满足𝑦0且函数y单调递减,故1−2𝑎0,且−𝑎0,求得0𝑎12,则a的取值范围为(0,12),故选:B.由题意可得𝑦=1−𝑎𝑥在(−∞,2]上满足𝑦0且函数y单调递减,故有1−2𝑎0,且−𝑎0,由此求得a的范围.本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,属于中档题.6.已知sin(𝜋3+𝛼)=13,则cos(5𝜋6+𝛼)=()A.13B.−13C.223D.−223【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.利用诱导公式可得,利用条件求得结果.【解答】解:cos(5𝜋6+𝛼)=cos[𝜋2+(𝜋3+𝛼)]=−sin(𝜋3+𝛼)=−13,故选B.7.已知等差数列{𝑎𝑛},𝑎3=6,𝑎5=10,则𝑆7=()A.60B.56C.40D.36【答案】B【解析】解:∵等差数列{𝑎𝑛},𝑎3+𝑎5=𝑎1+𝑎7=6+10=16.则𝑆7=7(𝑎1+𝑎7)2=7×8=56.故选:B.利用等差数列的性质与求和公式即可得出.本题考查了等差数列的性质与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”第3页,共10页其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地.”请问第三天走了()A.60里B.48里C.36里D.24里【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用,属于基础题.由题意得:每天行走的路程成等比数列{𝑎𝑛}、且公比为12.由条件和等比数列的前项和公式求出𝑎1,由等比数列的通项公式求出答案即可.【解答】解:由题意得,每天行走的路程成等比数列{𝑎𝑛},且公比为12,∵6天后共走了378里,∴𝑆6=𝑎1(1−126)1−12=378,解得𝑎1=192,∴第三天走了𝑎3=𝑎1×(12)2=192×14=48.故选B.9.在平行四边形ABCD中,𝐴𝐵=𝑎,𝐴𝐷=𝑏,𝐴𝑀=4𝑀𝐶,𝑃为AD的中点,𝑀𝑃=()A.45𝑎+310𝑏B.45𝑎+1310𝑏C.-45𝑎-310𝑏D.34𝑎+14𝑏【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了向量的加法、减法、数乘运算,平面向量的基本定理及其应用,属于中档题.利用平面向量的基本定理结合图形即可用𝑎,𝑏表示𝑀𝑃.【解答】解:∵𝑀𝑃=𝐴𝑃−𝐴𝑀,𝐴𝑃=12𝐴𝐷=12𝑏,𝐴𝑀=45𝐴𝐶,𝐴𝐶=𝑎+𝑏,∴𝑀𝑃=12𝑏−45(𝑎+𝑏)=−45𝑎−310𝑏.故选C.10.将函数的图象向右平移𝜋4个单位后得到函数𝑔(𝑥)的图象,则𝑔(𝑥)具有性质()A.最大值为1,图象关于直线𝑥=𝜋2对称B.在0,𝜋4上单调递减,为奇函数第4页,共10页C.在−3𝜋8,𝜋8上单调递增,为偶函数D.周期为𝜋,图象关于点3𝜋8,0对称【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的平移变换和函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象与性质,属于中档题.根据函数图象的平移变换得𝑔(𝑥)解析式,再结合三角函数的性质即可求得结果.【解答】解:由题意得,𝑔(𝑥)=sin2𝑥−𝜋4−𝜋2=sin(2𝑥−𝜋)=−𝑠𝑖𝑛2𝑥,对于A,最大值为1正确,而𝑔𝜋2=0,图象不关于直线𝑥=𝜋2对称,故A错误;对于B,当𝑥∈0,𝜋4时,2𝑥∈0,𝜋2,满足单调递减,显然𝑔(𝑥)也是奇函数,故B正确;C显然错误;对于D,周期𝑇=2𝜋2=𝜋,𝑔3𝜋8=−22,故图象不关于点3𝜋8,0对称,故选B.11.已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则满足𝑓(2𝑥−1)𝑓(13)的x的取值范围是()A.[12,23)B.(12,23)C.[13,23)D.(13,23)【答案】D【解析】解:由𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,根据偶函数的对称性可知𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递减,距离对称轴越远,函数值越大,由𝑓(2𝑥−1)𝑓(13)可得|2𝑥−1|13,解可得,13𝑥23,即不等式的解集(13,23).故选:D.根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键,综合考查函数性质的应用.12.已知幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚−1)2𝑥𝑚2−4𝑚+2在(0,+∞)上单调递增,函数𝑔(𝑥)=2𝑥−𝑡,∀𝑥1∈[1,6)时,总存在𝑥2∈[1,6)使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2),则t的取值范围是()A.⌀B.𝑡≥28或𝑡≤1C.𝑡28或𝑡1D.1≤𝑡≤28【答案】D【解析】解:由𝑓(𝑥)是幂函数得:𝑚=0或2,而𝑓(𝑥)=(𝑚−1)2𝑥𝑚2−4𝑚+2在(0,+∞)上单调递增,则𝑓(𝑥)=𝑥2,𝑥∈[1,6)时,𝑓(𝑥)∈[1,36),𝑥∈[1,6)时,𝑔(𝑥)∈[2−𝑡,64−𝑡),若∀𝑥1∈[1,6)时,总存在𝑥2∈[1,6)使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2),则[1,36)⊆[2−𝑡,64−𝑡),第5页,共10页故2−𝑡≤164−𝑡≥36,解得:1≤𝑡≤28,故选:D.根据幂函数的定义以及函数的单调性求出𝑓(𝑥)的解析式,分别求出𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)的值域,问题转化为[1,36)⊆[2−𝑡,64−𝑡),求出t的范围即可.本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题,考查求函数的值域问题以及集合的包含关系,是一道中档题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.函数𝑦=tan(2𝑥−𝜋4)的最小正周期为______.【答案】𝜋2【解析】解:函数𝑦=tan(2𝑥−𝜋4)的最小正周期为:𝑇=𝜋𝜔=𝜋2.故答案为:𝜋2.根据正切函数的图象与性质,求出函数𝑦=tan(2𝑥−𝜋4)的最小正周期.本题考查了正切型函数的最小正周期问题,是基础题.14.已知等比数列{𝑏𝑛}(𝑛∈𝑁∗)中,𝑏3=−8,𝑏6=64,则该等比数列的公比的值是______.【答案】−2【解析】解:根据题意,设等比数列{𝑏𝑛}的公比为q,若𝑏3=−8,𝑏6=64,则𝑞3=𝑏6𝑏3=−8,解可得:𝑞=−2,故答案为:−2.根据题意,设等比数列{𝑏𝑛}的公比为q,由等比数列的通项公式可得𝑞3=𝑏6𝑏3=−8,进而计算可得答案.本题考查等比数列的性质以及通项公式的应用,属于基础题.15.给出以下5个条件:①|𝑎⇀|=|𝑏⇀|;②𝑎⇀=𝑏⇀;③𝑎⇀与𝑏⇀的方向相反;④𝑎⇀与𝑏⇀都是单位向量;⑤|𝑎⇀|=0或|𝑏⇀|=0.其中能使𝑎⇀//𝑏⇀成立的是_____.(填序号)【答案】②③⑤【解析】【分析】本题考查向量平行的条件,逐一判断即可.【解答】第6页,共10页解:若|𝑎→|=|𝑏→|,则𝑎→ 与𝑏→的长度相等,而方向不确定,因此不一定有𝑎→// 𝑏→,所以①不正确;若𝑎→= 𝑏→,则𝑎→ 与𝑏→大小相等且方向相同,所以𝑎→// 𝑏→,所以②正确;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若𝑎→ 与𝑏→方向相反,则有𝑎→// 𝑏→,所以③正确;单位向量只是模为1的向量,方向不定,所以不一定有𝑎→// 𝑏→,所以④不正确;零向量与任意向量平行,所以若|𝑎→ |=0或|𝑏→|=0,则𝑎→// 𝑏→,所以⑤正确.故答案为②③⑤.16.已知二次函数𝑓(𝑥),对任意的𝑥∈𝑅,恒有𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=−4𝑥+4成立,且𝑓(0)=0.设函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑚(𝑚∈𝑅).若函数𝑔(𝑥)的零点都是函数ℎ(𝑥)=𝑓(𝑓(𝑥))+𝑚的零点,则ℎ(𝑥)的最大零点为______.【答案】4【解析】解:(1)设二次函数𝑓(𝑥)的解析式为𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,则𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥+2)2+𝑏(𝑥+2)+𝑐−(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)=4𝑎𝑥+4𝑎+2𝑏,由𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=−4𝑥+4得(4𝑎+4)𝑥+4𝑎+2𝑏−4=0恒成立,又𝑓(0)=0所以4𝑎=−44𝑎+2𝑏=4𝑐=0,所以𝑎=−1𝑏=4𝑐=0,所以𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥,设𝑥0为𝑔(𝑥)的零点,则𝑔(𝑥0)=0ℎ(𝑥0)=0,即−𝑥02+4𝑥0+𝑚=0−(−𝑥02+4𝑥0)2+4(−𝑥02+4𝑥0)+𝑚=0,即−𝑚2−4𝑚+𝑚=0,得𝑚=0或𝑚=−3,1°当𝑚=0时,ℎ(𝑥)=−(−𝑥2+4𝑥)2+4(−𝑥2+4𝑥)=−𝑥(𝑥−4)(𝑥2−4𝑥+4)所以ℎ(𝑥)所有零点为0,