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1/4期中考试高二理数试卷2/41“山江湖”协作体2020届高二年级第二学期期中联考数学试卷（理科）命题人：徐焕飞、梁贻洪考试时间：120分钟；满分：150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．复数𝑧满足𝑧𝑖=1+3𝑖，复数𝑧在复平面内所对应的点的坐标是（）A．（3，—1）B．（—1，3）C．（—3，1）D．（1，—3）2．下列结论正确的是()A．若向量𝑎⃗⃗，b⃗共线，则向量𝑎⃗⃗，b⃗的方向相同B．△ABC中，D是BC中点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗)C．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗与向量CD⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上D．若𝑎⃗⃗//b⃗，则∃λ∈R使𝑎⃗⃗=λb⃗3．∫(4−4cos(x+𝜋2)+√16−x2)dx=()A．8𝜋B．4𝜋C．2𝜋D．π4．设𝑖为虚数单位，复数𝑧=sin𝛼+𝑖cos𝛼，若tan𝛼≥0，则复数𝑧在复平面内所对应的点不可能在（）A．第一象限B．实轴上C．第三象限D．虚轴上5．已知命题p：∃𝑥0∈𝑅，𝑥0−20，命题q：∀𝑥∈𝑅，√𝑥𝑥，则下列说法中正确的是（）A．命题𝑝∨𝑞是假命题B．命题𝑝∧𝑞是真命题C．命题𝑝∧(￢𝑞)是真命题D．命题𝑝∨(￢𝑞)是假命题6．函数y=f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A．0𝑓′(1)𝑓′(2)𝑓(2)−𝑓(1)B．0𝑓′(1)𝑓(2)−𝑓(1)𝑓′(2)C．0𝑓′(2)𝑓(2)−𝑓(1)𝑓′(1)D．0𝑓′(2)𝑓′(1)𝑓(2)−𝑓(1)7．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若AP⃗⃗⃗⃗⃗=xAB⃗⃗⃗⃗⃗+yAC⃗⃗⃗⃗⃗，则xy的取值范围是()A．[19,49]B．[19,14]C．[29,12]D．[29,14]8．如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A．2𝜋B．𝜋2C．4𝜋D．𝜋49．为了配合我市的创卫工作。广丰贞白中学在全校开展了轰轰烈烈的“我为创卫添光彩”活动。为改善创卫环境调研了甲、乙、丙、丁、戊5个创卫项目，得到如下信息：①若引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目；②丁、戊两个项目与创卫密切相关，这两个项目至少要引进一个；③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个；④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进；⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进．则广丰贞白中学应引进的项目为()A．甲、乙B．丙、丁C．乙、丁D．甲、丙10．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）A．12B．1C．32D．211．设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时()A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件12．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2·𝑒−𝑥,𝑔(𝑥)=−13𝑥3+2𝑥2−3𝑥+𝑐，若对∀𝑥1∈(0,+∞)，∃𝑥2∈[1,3]，使𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)成立，则𝑐的取值范围是（）A．4𝑒2𝑐43B．4𝑒2≤𝑐≤43C．𝑐≤43D．𝑐≥4𝑒2二、填空题（每小题5分，共20分）13．不用计算，判断𝑎=∫𝑥 20𝑑𝑥，𝑏=∫e𝑥 20𝑑𝑥，𝑐=∫sin𝑥 20𝑑𝑥的大小关系为________．14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2√23=√223，3√38=√338，4√415=√4415，5√524=√5524，则按照以上规律，若8√8n=√88n具有“穿墙术”，则n=__________．15．对于三次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+b𝑥2+c𝑥+d(𝑎≠0)，现给出定义：设𝑓′(𝑥)是函数y=𝑓(𝑥)的导数，𝑓″(𝑥)是𝑓′(𝑥)的导数，若方程𝑓″(𝑥)=0有实数解𝑥0，则称点(𝑥0，𝑓(𝑥0))为函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+b𝑥2+c𝑥+d(𝑎≠0)的“山江湖连接点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“山江湖连接点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“山江湖连接点”就是对称中心．设函数𝑓(𝑥)=2𝑥3−3𝑥2+1，则𝑓(1100)+𝑓(2100)+⋯+𝑓(99100)=____.16．下列命题中，正确命题的序号是__________．①函数𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥+1关于点(0,1)对称；3/4期中考试高二理数试卷4/42②定义在R上的奇函数𝑓(𝑥)=e𝑥+ae𝑥+b中一定有𝑓(𝑥+1)𝑓(𝑥)；③函数y=sin(𝜋𝑥+𝜋3)满足𝑓(𝑥+1)=−𝑓(𝑥)；④已知A,B,C是∆ABC的三个内角，若A90°，则sinCcosB.三、解答题（共70分）17．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥−16(1)求𝑓′(𝑥)；(2)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(2，-6)处的切线的方程。18．已知正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，AB=1，AA1=3，𝐸,𝐹分别是棱AA1，CC1上的点，且满足AE=2EA1，CF=2FC1．(1)求异面直线EC1，DB1所成角的余弦值；(2)求面EB1C1与面𝐹𝐴𝐷所成的锐二面角的余弦值．19．命题𝑝:关于𝑥的不等式𝑥2+(𝑎−1)𝑥+𝑎2≤0的解集为∅；命题𝑞:函数𝑦=(2𝑎2−𝑎)𝑥为增函数．(1)若𝑝是真命题,求实数𝑎的取值范围；(2)若“𝑝∨𝑞”是真命题，“𝑝∧𝑞”是假命题,求实数𝑎的取值范围．20．数学研究性学习是高中学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动．某同学就在一次数学研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213𝑜+𝑐𝑜𝑠217𝑜−𝑠𝑖𝑛13𝑜𝑐𝑜𝑠17𝑜；②sin215𝑜+𝑐𝑜𝑠215𝑜−𝑠𝑖𝑛15𝑜𝑐𝑜𝑠15𝑜；③sin218𝑜+𝑐𝑜𝑠212𝑜−𝑠𝑖𝑛18𝑜𝑐𝑜𝑠12𝑜；④sin230𝑜+𝑐𝑜𝑠20𝑜−𝑠𝑖𝑛30𝑜𝑐𝑜𝑠0𝑜；⑤sin2(−10𝑜)+𝑐𝑜𝑠240𝑜−𝑠𝑖𝑛(−10𝑜)𝑐𝑜𝑠40𝑜．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，归纳出一个三角恒等式；（3）利用所学知识证明这个结论．21．直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1=𝐴𝐵=𝐴𝐶=1，𝐸,𝐹分别是𝐶𝐶1，𝐵𝐶的中点，𝐴𝐸⊥𝐴1𝐵1，𝐷为棱𝐴1𝐵1上的点．(1)证明：𝐴𝐵⊥𝐴𝐶；(2)是否存在一点𝐷，使得平面𝐷𝐸𝐹与平面𝐴𝐵𝐶所成锐二面角的余弦值为√1414？若存在，说明点𝐷的位置，若不存在，说明理由．22．已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥2+(𝑎+2)𝑥+1(𝑎∈𝑅).（1）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；（2）设𝑎∈𝑍，若对任意的𝑥0,𝑓(𝑥)≤0恒成立，求整数𝑎的最大值；（3）求证：当𝑥0时，𝑒𝑥−𝑥ln𝑥+2𝑥3−𝑥2+𝑥−10.