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2020届四校联盟高三第二次联考文科数学试卷第1页，共4页2020届四校联盟高三第二次联考文科数学试卷第2页，共4页2020届四校联盟高三第二次联考试卷文科数学考试时间：120分钟总分：150分2020.03.29一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．集合𝐴={𝑦|𝑦=√2−𝑥}，集合𝐵={𝑥|𝑦=√2−𝑥}，则𝐴∩𝐵=()A．{𝑥|𝑥≥0}𝐵．{𝑥|𝑥≤2}𝐶．{𝑥|0≤𝑥≤2}D．∅2．下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．1−𝑖1+𝑖B．1+𝑖𝑖C．𝑖(1+𝑖)2D．𝑖2(1+𝑖)3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体。自2015年以来，“一带一路”建设成果显著。右图是2015-2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大B．这五年，2015年出口额最少C．这五年，2019年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降4．函数𝑓(𝑥)=3𝑠𝑖𝑛(2𝜋3−2𝑥)的一个单调递减区间是()A．[7𝜋12,13𝜋12]B．[𝜋12,7𝜋12]C．[−𝜋2,𝜋2]D．[−5𝜋6,𝜋6]5．双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的离心率为1cos50∘，则一条渐近线的倾斜角为()A．40°B．45°C．50°D．60°6．在△𝐴𝐵𝐶中，已知a、b、c成等比数列，且𝑎+𝑐=3,𝑐𝑜𝑠𝐵=34，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=()A．32B．−32C．3D．−37．已知𝑎𝑛=𝑛−√122𝑛−√123(𝑛∈𝑁*)，则在数列{𝑎𝑛}的前40项中最大项和最小项分别是()A．𝑎1，𝑎30B．𝑎1，𝑎9C．𝑎10，𝑎9D．𝑎12，𝑎118．函数𝑓(𝑥)=ln|𝑥−1|+𝑥2与𝑔(𝑥)=2𝑥，两函数图象所有交点的横坐标之和为()A．0B．2C．4D．89．若点𝑃(𝑥,𝑦)坐标满足ln|1𝑦|=|𝑥−1|，则点P的轨迹图象大致是()A．B．C．D．10．棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷—𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E为棱AD中点，过点𝐵1且与平面𝐴1𝐵𝐸平行的正方体的截面面积为()A．2√5B．2√6C．4√5D．4√611．过直线𝑙:𝑦=𝑥+2𝑎上的点作圆𝐶:𝑥2+𝑦2=1的切线，若在直线l上存在点M，使得过点M的圆C的切线𝑀𝑃,𝑀𝑄(𝑃,𝑄为切点)满足∠𝑃𝑀𝑄=900，则a的取值范围是()A．[−1,1]B．[−2,2]C．(−∞,1]⋃[1,+∞)D．(−∞,−2]⋃[2,+∞)12．若关于x的不等式(1𝑥)𝜆𝑥≤181有正整数解，则实数𝜆的最小值为()A．9B．10C．11D．12二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+b的一条切线为y=x+1,则b=_____________．14．已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，其前n项和𝑆𝑛有最大值，且𝑎2020𝑎2019−1，则使得𝑆𝑛0的n的最大值为_____________．15．已知向量|𝑎|=|𝑏⃗|=1，且𝑎∙𝑏⃗=12，若𝑐=𝑥𝑎+𝑦𝑏⃗,其中𝑥0、𝑦0且𝑥+𝑦=4，则|𝑐|的最小值为______________．16．如图，已知抛物线𝐶1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3,6)，圆𝐶2：𝑥2+𝑦2−6𝑥+8=0，过圆心𝐶2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|𝑃𝑁|+2|𝑄𝑀|的最小值为__________．三、解答题（共70分，第17-21题为必考题，第22-23题为选考题）（一）必考题：共60分17．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵=𝜋4，角A的平分线AD交BC于点D，设∠𝐵𝐴𝐷=𝛼，𝑠𝑖𝑛𝛼=√55．（1）求sinC；（2）若𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=28，求AC的长．2020届四校联盟高三第二次联考文科数学试卷第3页，共4页2020届四校联盟高三第二次联考文科数学试卷第4页，共4页18．如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠𝐸𝐷𝐴=90°，且𝐸𝐷=𝐴𝐷=2𝐴𝐵=2𝐴𝐹．（1）证明：平面𝐴𝐵𝐸⊥平面EBD；（2）若三棱锥𝐴−𝐵𝐷𝐸的外接球的体积为8√2𝜋3，求三棱锥𝐴−𝐵𝐸𝐹的体积．19．某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度(满分按100计)，随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表满意度[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数15653表2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表满意度[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数24842表3：满意度小于80满意度不小于80合计六十岁以上老人人数十八岁以上六十岁以下的中青年人人数合计（1）若该小区共有中青年人500人，试估计其中满意度不少于80的人数；（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？（3）从表3的六十岁以上的老人“满意度小于80”和“满意度不小于80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意小于80的概率．附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001𝑘00.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.8320．已知定直线l：𝑦=𝑥+3，定点𝐴(2,1)，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．21．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑙𝑛𝑥−𝑥−𝑎+1𝑥(𝑎∈𝑅)．（1）求函数𝑓(𝑥)的单调区间；（2）当𝑒𝑎2√𝑒时，关于x的方程𝑓(𝑎𝑥)=−𝑎+1𝑎𝑥有两个不同的实数解𝑥1,𝑥2，求证：𝑥1+𝑥24𝑥1𝑥2．（二）选做题（共10分，请考生在22，,23题中任选一题做答）22．在平面直角坐标系，将曲线𝐶1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线𝐶2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线𝐶1的极坐标方程为𝜌=2．（1）求曲线𝐶2的参数方程；（2）过原点O且关于y轴对称点两条直线𝑙1与𝑙2分别交曲线𝐶2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线𝑙1的普通方程．23．已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−1|．（1）解不等式𝑓(𝑥)|𝑥|+3；（2）若对于x、𝑦∈𝑅，有|𝑥−3𝑦+1|≤13，|2𝑦−1|≤16，求证：𝑓(𝑥)≤76．