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第1页，共4页理科数学试卷考试时长：120分钟试卷总分：150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集 ꅘᛏ 1 0，1，2，3，4 ，集合 ꅘᛏ⺁ ⺁ 4 ， ꅘᛏ⺁ 1 ⺁ 2 ，则 ꅘ A.ᛏ 1 0，1，4 B.ᛏ 1 0 C.ᛏ 1 D.ᛏ0 1 2.已知i为虚数单位， 21 ꅘ1 ，则关于复数z的说法正确的是 A. ꅘ1B.z对应复平面内的点在第三象限C.z的虚部为 D. ꅘ23.下列命题正确的是 A.“⺁ 1”是“⺁2 3⺁ 2䀀0”的必要不充分条件B.对于命题p： ⺁ ，使得⺁2 ⺁ 1 0，则￢ ： ⺁ 均有⺁2 ⺁ 1 0C.若 为假命题，则p，q均为假命题D.命题“若⺁2 3⺁ 2ꅘ0，则⺁ꅘ2”的否命题为“若⺁2 3⺁ 2ꅘ0，则⺁ 2”4.已知 ꅘ ሺ 32 2 ꅘ ሺ 123 2 ܿꅘሺ 2 13 2，则a，b，c的大小关系是 A.ܿ B. ܿC. ܿ D. ܿ 5.函数 ⺁ ꅘሺ 2 ⺁2 1 ⺁的图象大致是 A.B.C.D.6.设x，y满足约束条件2⺁ 6⺁ 3 2，则 ꅘ ⺁的最大值是 A. 1B.0C.12D.27.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒第2页，共4页钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为 A.14B.1564C.24072ᛏD.121540ᛏ68.正项等比数列ᛏ 中， 3， 4的等比中项为1 1⺁ ⺁，令 ꅘ 1 2 3 ，则 6ꅘ A.6B.16C.32D.64ᛏ.榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．广泛用于建筑，同时也广泛用于家具．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．榫卯结构中凸出部分叫榫 或叫榫头 ，已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是 A.36B.45C.54D.6310.已知双曲线⺁2 2 22ꅘ1 䀀0 䀀0 的离心率为2， 1， 2分别是双曲线的左、右焦点，点 0 ， 0 ，点P为线段MN上的动点，当 1 2 取得最小值和最大值时， 1 2的面积分别为 1， 2，则 1 2ꅘ A.4B.8C.23D.4311.设函数 ⺁ 在定义域 0 上是单调函数，且 ⺁ 0 ， 晦 ⺁ ⺁ ⺁䁪ꅘ .若不等式 ⺁ ⺁ ⺁对⺁ 0 恒成立，则a的取值范围是 A. 2䁪B. 1䁪C. 2 3䁪D. 2 1䁪12.已知函数 ⺁ ꅘ ܿ ⺁ ⺁ 0 的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为 ，则 1 2 2 ꅘ A. 2B. 1C.0D.2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. ⺁ 1⺁ 2 4的展开式中⺁2的系数为____________．14.设x， ，向量 ꅘ ⺁ 1 ， ꅘ 2 ，ܿ ꅘ 2 2 ，且 ܿ ， ܿ ，则 ꅘ____________．15.在三棱锥 鳸ᛏ中，已知 鳸ꅘ鳸ᛏꅘ ᛏꅘ2 ꅘ2 ᛏꅘ6，且平面 ᛏ 平面BCD，则三棱锥 鳸ᛏ外接球的表面积为____________．16.已知双曲线鳸：⺁2 2 22ꅘ1 䀀0 䀀0 的左右焦点分别为 1， 2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若 1 2 ꅘ2 ，tan 2 1 2，则双曲线C的离心率的取值范围为____________．三、解答题（本大题共7小题，前5题每小题12分，后2题为选考题10分，共70.0分）17. 鳸的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6 ܿ 2 2ꅘ ． 1 求cosA； 2 若 ꅘ21， ܿꅘ5，求 鳸的面积．第3页，共4页18.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A、B两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B队的平均分比A队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”． 1 根据茎叶图中的数据，求出A队第六位选手的成绩； 2 主持人从A队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率； 3 主持人从A、B两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为 ，求 的分布列及数学期望．1ᛏ.如图，在四面体ABCD中， ᛏ ，平面 ᛏ 平面ABC， ꅘ 鳸ꅘ22 鳸，且 ᛏ 鳸ꅘ4． 1 证明： 鳸 平面ABD； 2 设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角鳸 ᛏ 的余弦值．20.已知顶点为原点的抛物线C的焦点与椭圆 2 2 ⺁2ꅘ1 a1 的上焦点重合，且过点 22 1 ． Ⅰ 求椭圆的标准方程； Ⅱ 若抛物线上不同两点A，B作抛物线的切线，两切线的斜率 1ꅘ 1 2，若记AB的中点的横坐标为m，AB的弦长 长 ，并求 长 的取值范围．第4页，共4页21.已知函数 ⺁ ꅘሺ ⺁ ⺁． 1 当 ꅘ1时，求 ⺁ 的极值； 2 设 ⺁ ꅘ⺁ ⺁ ，对任意⺁1，⺁2 0 都有⺁1 ⺁1 ⺁1 ⺁1䀀 ⺁2 成立，求实数a的取值范围．选考题：请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⺁ꅘ4Ͷ 2 ꅘ3Ͷ 1 Ͷ为参数 ，圆C的参数方程为⺁ꅘ1 cos ꅘ 2 2 sin 为参数 ． 1 求l和C的普通方程； 2 将l向左平移长 长䀀0 后，得到直线ሺ ，若圆C上只有一个点到ሺ 的距离为1，求m．23.已知函数 ⺁ ꅘ ⺁ 2 ⺁ 1，函数 ⺁ ꅘ ⺁ 3 ⺁ 长 1． 1 当 ⺁ 䀀0时，求实数x的取值范围： 2 当 ꅘ ⺁ 与 ꅘ ⺁ 的图象有公共点，求实数m的取值范围．