高考中数列试题的应对策略

1高考中数列试题的应对策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道选择或填空题，一道解答题。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握。为了在高考中取得好成绩，必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中数列试题的能力考察特点，掌握相关的应对策略，以培养提高解决数列问题的能力。第一讲：数列基础知识的梳理数列是按一定顺序排列好的一列数。它可以理解为以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数。运用函数的观念分析和解决有关数列问题，是一条基本思路。递推是数列特有的表示法，它更能反映数列的特征。等差数列和等比数列是两个基本的数列，除了要熟练掌握这两个数列的通项公式和求和公式外，还要掌握以下基本性质：在等差数列中{an}中，an=am+(n-m)d或d=mnaamn(n,m∈N+);若m+n=p+q,则an+am=ap+aq(m,n,p,q∈N+).在等比数列中{an}中，an=amqn-m,(n,m∈N+);若m+n=p+q,则anam=apaq(m,n,p,q∈N+).对于非等差等比的数列，要用转化的思想，转化成和等差、等比有关的数列。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。①递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）【例1】已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。解∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列∴an=1+2（n-1）即an=2n-12②递推式为an+1=an+f（n）解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）2434)1211(211nnnaan★说明只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。③递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）【例4】{an}中，a1=1，对于n＞1（n∈N）有an=3an-1+2，求an。解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4∴an+1-an=4·3n-1∵an+1=3an+2∴3an+2-an=4·3n-1即an=2·3n-1-1解法二：上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1解法三：设递推式an+1=3an+2，可以化为an+1-t=3（an-t），3即是an+1=3an-2t∴2=-2t∴t=-1，于是得an+1+1=3（an+1），数列{an+1}是公比为3的等比数列，其首项为a1+1=2∴an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1④递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数）)(3211nnnnbbbb由上题的解法，得：nnb)32(23∴nnnnnba)31(2)21(32③的方法解。⑤递推式为an+2=pan+1+qan思路：设an+2=pan+1+qan可以变形为：an+2-αan+1=β（an+1-αan），于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。求an。4个等式累加得⑥递推式为Sn与an的关系式关系；（2）试用n表示an。∴)2121()(1211nnnnnnaaSS∴11121nnnnaaa∴nnnaa21211（2）两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。∴2nan=2+（n-1）·2=2n52．数列求和问题的方法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2【例8】求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=)1(21nn个奇数，∴最后一个奇数为：1+[21n(n+1)-1]×2=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为（2）、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）解S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）（3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。6∴Sn=3n·2n-1（4）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．【例11】求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．解设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．①(2)x=0时，Sn=1．(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：73)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1．函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下∵f（l）=f（k）2．方程思想【例14】（1996·全国）设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解∵依题意可知q≠1。∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。∵q≠18整理得q3（2q6-q3-1）=0∵q≠0此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6）∴由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=03．换元思想【例15】已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且求证：a，b，c顺次成等比数列。证明依题意令ax=by=cz=k∴x=1ogak，y=logbk，z=logck∴b2=ac∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。第二讲：高考数列试题的考查特点及应对策略《考试说明》纵观近几年全国各地高考试题，发现高考数列试题具有贴近基础、模式多变、综合性强等特点，据此，我们应采取夯实基础、抓住特征，掌握联系等策略，以便于在高考中取得好9成绩。1、试题贴近基础，注重理解能力和推理运算能力的考查。以数列为背景或依托的试题，虽然有易有难，但通常是紧贴着数列基础知识（如有序性、等差、等比、通项、求和等相关的概念和性质），把考察理解能力和推理运算能力作为基本的要求。对策：对数列相关概念、性质和公式的透彻理解及其恰当的运用，是解答好数列试题的首要条件和基础，是正确理解题意的前提。对题设和求解目标有了正确认识，才能进一步列出有效算式，进行推演，获得正确答案。例1：（2002江苏卷）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3%.”如果“十五”期间(2001年～2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为().Ａ.115000亿元Ｂ.120000亿元Ｃ.127000亿元Ｄ.135000亿元例2：（2002年上海卷）若数列{ａn}中,ａ1=3,且ａn+1=ａn2(ｎ是正整数),则数列的通项ａn=__________.2、试题模式多变，注重观察分析能力和数学思维能力的考查。数列试题的模式与形态多式多样，不拘一格。无论题设的给出，还是问题的提法，抑或求解的要求，都常常打破定势，注意灵活多变，时常有新颖试题出现。这类试题，往往能比较深刻考察观察和分析问题的能力，对思维的广阔性、灵活性和深刻性有一定要求。对策：解答数列题，洞察并抓住所讨论的数列特征是关键。审题时，务必弄清试题是如何描述给定的数列，涉及的是一个数列，还是存在关联的若干数列，力求在整体上把握住数列的变化规律，明确求解的目标，理顺好题设的各种数量关系，进行必要的整合、归纳和转化，从中找到解答的突破口和求解的途径。具体的推演要注意合乎逻辑，说理充分，计算准确。例设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12–nan2+an+1an=0(n=1,2,3…).则它的通项公式是an=_________。（2000年高考数学试题）解法一、取特殊值法：分别取n=1,2,3，由a1=1,得到31,2132aa,进而猜测：an=n1,代入检验合适。解法二、[(n+1)an+1–nan](an+1+an)=0,∵an+1+an0,∴(n+1)an+1–nan=0,∴(n+1)an+1=nan=(n-1)an-1=…=1,∴an=n1解法三、0))(1(121naaaannnnn，∴11nnaann，10由此，得：nnaann11，…，2112aa将以上各式连乘，得：naan11，∴an=n1例设{an}是等比数列，Tn=na1+(n-1)a2+…2an-1+an.已知T1=1,T2=4.（1）求数列{an}的首项和公比；（2）求数列{Tn}的通项公式。(2000年高考数学试题)解：（1）由T1=1,T2=4，可得a1=12a1+a1q=4a1=1,q=2.(2)解法1：错位相消法：∵Tn-qTn=na1-a2-a3-…-an-an+1=qaanan1221又a1=1,q=2，∴Tn=-(n+2-2n+1)=2n+1-(n+2).解法2：记Sn为{an}的前n项和，化Tn为Tn=S1+S2+…+Sn,∵Sk=qaak111=2k-1,k=0,1,2,…∴Tn=2+22+…+2n-n=2n+1-(2+n).3、数列为引线，编制综合性强，内涵丰富的试题，比较深入的考查综合素质和学习力。数列是按一定顺序排列好的一列数。它可以理解为以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，能够产生和引发数列问题的背景材料及其丰富，既可以是实际应用，又可以是各种数学研究对象（如函数、集合、几何图形等等）。同时，围绕给定的数列，能够提出许多的数学问题，这些问题除数列自身各种性质外，还有大量的外延性的问题，如函数、不等式、方程、三角、几何性质之类问