江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题11 直线与圆、圆与圆 （pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第1页共20页专题11：直线与圆、圆与圆目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：圆的方程...........................................................................................................................................2类型二：直线与圆相切问题...........................................................................................................................5类型三：直线与圆的相交问题.......................................................................................................................6类型四：圆上点到直线或点的距离问题.....................................................................................................10类型五：两圆的位置关系问题......................................................................................................................11综合应用篇.............................................................................................................................................................12一、例题分析.................................................................................................................................................12二、反馈巩固.................................................................................................................................................17南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第2页共20页问题归类篇类型一：圆的方程一、前测回顾1.经过三点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)的圆的方程为．2.一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为．3.已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y＝2x＋1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是______.答案：1.x2＋y2－6x－2y＋5＝02.(x±32)2＋y2＝254;3.x＋132＋y－132＝19二、方法联想求圆的方程方法1：三点代入圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解D、E、F．方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心．方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边．优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法3；若只涉及圆心，可用方法2；方法1可直接求出圆心和半径．三、方法应用例1.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2.P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为(0，b)，求过P、Q、F2三点的圆的方程；(3)若F1P→＝λQF1→，且λ∈12，2，求OP→·OQ→的最大值．解：(1)由题意得2c＝2，a2c＝2，解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0.由x－y＋1＝0，x22＋y2＝1，解得x＝0，y＝1，或x＝－43，y＝－13，所以点Q的坐标为－43，－13.(解法1)因为kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2为直角三角形．因为QF2的中点为－16，－16，QF2＝523，所以圆的方程为x＋162＋y＋162＝2518.南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第3页共20页(解法2)设过P、Q、F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则1＋E＋F＝0，1＋D＋F＝0，179－43D－13E＋F＝0，解得D＝13，E＝13，F＝－43.所以圆的方程为x2＋y2＋13x＋13y－43＝0.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P→＝(x1＋1，y1)，QF1→＝(－1－x2，－y2)．因为F1P→＝λQF1→，所以x1＋1＝λ（－1－x2），y1＝－λy2，即x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2，所以（－1－λ－λx2）22＋λ2y22＝1，x222＋y22＝1，解得x2＝1－3λ2λ.所以OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22＝－λ2x22－(1＋λ)x2－λ＝－λ21－3λ2λ2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58λ＋1λ.因为λ∈12，2，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时取等号．所以OP→·OQ→≤12，即OP→·OQ→的最大值为12.（考查椭圆方程，圆的方程，向量的坐标运算，函数最值）例2.设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．（1）求l的方程（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得1,0F，l的方程为–1ykx，0k．设11,Axy，22,Bxy．由214ykxyx得2222240kxkxk．故212224kxxk．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第4页共20页DCBAOyx所以21224411kABAFBFxxk．由题设知22448kk，解得1k（舍去），1k．因此l的方程为–1yx．（2）由（1）得AB的中点坐标为3,2，所以AB的垂直平分线方程为23yx，即5yx．设所求圆的圆心坐标为00,xy，则0022000511162yxyxx，解得0032xy或00116xy，因此所求圆的方程为223216xy或22116144xy．（考查抛物线定义，圆的方程）例3.如图，在平面直角坐标系XOY中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD．（1）若AC＝4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．解(1)：因为A(－3，4)，所以OA＝（－3）2＋42＝5.因为AC＝4，所以OC＝1，所以C－35，45.由BD＝4，得D(5，0)，所以直线CD的斜率为0－455－－35＝－17，所以直线CD的方程为y＝－17(x－5)，即x＋7y－5＝0.(2)证明：设C(－3m，4m)(0m≤1)，则OC＝5m.则AC＝OA－OC＝5－5m，因为AC＝BD，所以OD＝OB－BD＝5m＋4，所以D点的坐标为(5m＋4，0)．又设△OCD的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有F＝0，9m2＋16m2－3mD＋4mE＋F＝0，（5m＋4）2＋（5m＋4）D＋F＝0，解得D＝－(5m＋4)，F＝0，E＝－10m－3,所以△OCD的外接圆的方程为x2＋y2－(5m＋4)x－(10m＋3)y＝0，整理得x2＋y2－4x－3y－5m(x＋2y)＝0.令x2＋y2－4x－3y＝0，x＋2y＝0，得x＝0，y＝0(舍)或x＝2，y＝－1.所以△OCD的外接圆恒过定点为(2，－1)．（考查直线的方程，圆的方程，圆过定点问题）四、归类巩固*1．在平面直角坐标系xOy中，已知点C(t，2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆过原点O,直线2x＋y－4＝0与圆C交于M,N两点，若OM＝ON,则圆C的标准方程为.利用直线OC与已知直线垂直求出圆心，利用线圆位置关系舍一解南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第5页共20页答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5.**2．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C，则C的方程是________．(三点代入圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解D、E、F；设而不求法求外接圆方程)答案：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0***3．已知圆O：x2＋y2＝4，点M(4,0)，过原点的直线(不与x轴重合)与圆O交于A，B两点，则△ABM的外接圆的面积的最小值为________．(求外接圆半径的最值)答案：254π类型二：直线与圆相切问题一、前测回顾1.过点P(1，0)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A、B，则切线方程为；切线长PA为；直线AB的方程为．2.经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程为．3.圆C1:x2＋y2＝16与C2:(x－4)2+(y＋3)2＝r2(r0)在交点处的切线互相垂直,则r＝．答案：(1)x＝1或5x＋12y－5＝0；2；3x＋2y－7＝0．(2)(x－3)2＋(y－1)2＝5．(3)3二、方法联想相切问题(1)位置判断：方法1：利用d＝r；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．(2)如图，在Rt△PAC中，切线长PA＝PC2－R2；当圆外一点引两条切线时，(1)P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为直径；(2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．(3)PC为∠APB的平分线，且垂直平分线段AB．三、方法应用例1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围是________．(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)答案：[2314,22)例2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．(∠BAC最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题)答案：[1，5]四、归类巩固*1．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．(已知直线与圆相切，圆心到