江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题10（选讲）数列难点专项研究（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料数学I试卷第1页（共4页）专题10：数列难点专项研究目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：等差、等比数列的证明...................................................................................................................2类型二：等差、等比数列中的求值...............................................................................................................9类型三：等差、等比数列中的探究.............................................................................................................20南京市2019届高三数学二轮专题复习资料数学I试卷第2页（共4页）问题归类篇类型一：等差、等比数列的证明一、高考回顾1．(2011年高考题)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n项的和为Sn，已知对任意整数k∈M，当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立．设M＝{3，4}，求数列{an}的通项公式．解：由题意对任意整数k∈{3，4}，当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立，则当n≥4时，Sn＋3＋Sn－3＝2(Sn＋S3)，①当n≥5时，Sn＋4＋Sn－4＝2(Sn＋S4)，②由①得当n≥5时，Sn＋2＋Sn－4＝2(Sn－1＋S3)，③由①－③得当n≥5时，an＋3＋an－3＝2an，由②得当n≥6时，Sn＋3＋Sn－5＝2(Sn－1＋S5)，④由②－④得当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，方法一：当n≥8时，an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等差数列，且an－6，an－2，an＋2，an＋6也成等差数列，从而当n≥8时，2an＝an＋3＋an－3＝an＋6＋an－6，⑤且an＋2＋an－2＝an＋6＋an－6．⑥所以当n≥8时，2an＝an＋2＋an－2，⑦于是，当n≥9时，an－3，an－1，an＋1，an＋3成等差数列，从而an＋3＋an－3＝an＋1＋an－1，故由⑤式知2an＝an＋1＋an－1，即an＋1－an＝an－an－1，所以{an}从第八项开始成等差数列，设其公差为d.当2≤m≤8时，m＋6≥8，从而由⑤式知2am＋6＝am＋am＋12，故2am＋7＝am＋1＋am＋13，从而2(an＋7－an＋6)＝am＋1－am＋(am＋13－am＋12)，于是am＋1－am＝2d－d＝d．因此an＋1－an＝d，对任意都n≥2成立．在①中，令n＝4得S7＋S1＝2(S4＋S3)，即(S7－S4)－(S4－S1)＝2S3，故9d＝2S3．在②中，令n＝5得S9＋S1＝2(S5＋S4)，即(S9－S5)－(S5－S1)＝2S5，故16d＝2S5．解得a4＝72d，从而a2＝32d，a1＝12d．因此，数列{}an为等差数列，由a1＝1知d＝2，所以数列{}an的通项公式为an＝2n－1．方法二：因为当n≥5时，an＋3＋an－3＝2an，所以a2，a5，a8，…成等差数列，设其公差为d1，则a3n－1＝a2＋(n－1)d1.a3，a6，a9，…成等差数列，设其公差为d2，则a3n＝a3＋(n－1)d2.a4，a7，a10，…成等差数列，设其公差为d3，则a3n+1＝a4＋(n－1)d3.因为当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，所以a2，a6，a10，…成等差数列，设其公差为d.由于a14＝a2＋4d1＝a2＋3d，所以4d1＝3d.由于a18＝a6＋4d1＝a6＋3d，所以4d1＝3d.由于a21＝a9＋4d1＝a9＋3d，所以4d1＝3d.所以d1＝d2＝d3＝34d．由a6＝a2＋d＝a3＋d2，所以a3－a2＝14d．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料数学I试卷第3页（共4页）由a10＝a2＋2d＝a4＋2d2，所以a4－a2＝12d．所以2a3＝a2＋a4．故2a3n＝a3n-1＋a3n+1，即a3n+1－a3n＝a3n－a3n－1，所以{an}从第二项开始成等差数列.下同方法一．思考：设M＝{2，5}，求数列{an}的通项公式．2．(2017年高考题)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(nk)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．证明：数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{an}是等差数列．思考：设M＝{2，5}，求数列{an}的通项公式．二、方法联想由含有Sn和an的多阶递推证明等差数列时，可能需要多次退位作差．目标：(1)an－an－1＝常数；(2)2an＝an－1＋an＋1；(3)2an＝an－k＋an＋k或an－an－k＝常数（n∈N*，n＞1）．方法一：从{an}的子数列{akn}，{akn+1}，…，{akn+k-1}成等差，根据条件证明这些等差数列的公差相等，同时a1,a2,…，ak是等差数列；方法二：通过所给条件将2an＝an－k＋an＋k向2an＝an－1＋an＋1进行转化．注意：由于多次进行退位，会导致等式中n的取值范围的变化，数列前几项成等差，往往需要进行验证．证明等比数列类似．三、归类研究*1．已知数列{}an满足an＋an＋1＝2n＋1(n∈N*)，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1＝1．证：（必要性）数列{an}为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，an+1＝a1＋nd，所以an＋an＋1＝2a1＋(2n－1)d＝2n＋1对n∈N*恒成立，所以d＝1，2a1－d＝1，解得a1＝1．（充分性）因为n≥2时，an＋an＋1＝2n＋1①，an－1＋an＝2n－1②①－②得n≥2时，an＋1－an－1＝2．即{}an的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列．因为a1＋a2＝3，a1＝1，所以a2＝2．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料数学I试卷第4页（共4页）所以a2k＝a2＋2(k－1)＝2k，a2k－1＝a1＋2(k－1)＝2k－1，所以an＝n，数列{an}为等差数列．综上，数列{an}为等差数列的充要条件是a1＝1．思考：（1）若数列{an＋an＋1}为公差为d的等差数列，试探究数列{an}为等差数列的充要条件，并加以证明；（2）若正项数列{an}满足：数列{anan＋1}为公比为q的等比数列，试探究数列}{na为等比数列的充要条件，并加以证明.注：数列{an}的奇数项和偶数项都成公差相等的等差数列，当前三项也成等差时，数列{an}是等差数列．**2．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2n＝3n2an＋S2n－1，an≠0，n≥2，n∈N*，求数列{an}的通项公式．解：由S2n＝3n2an＋S2n－1，得S2n－S2n－1＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝a，n＝1，3n＋2a－6，n为奇数且n≥3，3n－2a＋6，n为偶数．思考：(1){an}是否可以为等差数列？(2){an}是否可以为递增数列？**3．设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝an·an＋2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列．证：由{an}是“J4型”数列，得a1，a5，a9，a13，a17，a21，…成等比数列，设公比为t．由{an}是“J3型”数列，得a1，a4，a7，a10，a13，…成等比数列，设公比为α1；a2，a5，a8，a11，a14，…成等比数列，设公比为α2；a3，a6，a9，a12，a15，…成等比数列，设公比为α3；则a13a1＝α41＝t3，a17a5＝α42＝t3，a21a9＝α43＝t3．所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t＝α43．于是a3k－2＝a1αk－1＝a1(3α)(3k－2)－1，a3k－1＝a5αk－2＝a1tαk－2＝a1αk－23＝a1(3α)(3k－1)－1，a3k＝a9αk－3＝a1t2αk－3＝a1αk－13＝a1(3α)3k－1，所以an＝a1(3α)n－1，所以an＋1an＝3α，故{an}为等比数列．注：利用两个子数列的公共项，求得两个子数列的公比关系，进而通过三个子数列的通项公式求出原数列的通项公式，由通项公式符合等比数列通项公式的形式，证得等比数列．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料数学I试卷第5页（共4页）**4．设{an}的前n项和为Sn．证明：对任意n∈N*，都有Sn＝12n(a1＋an)，则{an}为等差数列．证：n≥2时，Sn＝12n(a1＋an)①，Sn－1＝12(n－1)(a1＋an－1)②，①－②得an＝12n(a1＋an)－12(n－1)(a1＋an－1)＝12a1＋12nan－12(n－1)an－1，所以(n－2)an＝(n－1)an－1－a1，③所以n≥3时，(n－3)an－1＝(n－2)an－2－a1，④③－④得(2n－4)an－1＝(n－2)(an－2＋an)，又n≥3，所以2an－1＝an－2＋an，即an－an－1＝an－1－an－2．从而an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1．所以{an}为等差数列．注：利用Sn与an的关系，将条件转化an与an－1的递推关系，再次作差（消去a1），转化为2an－1＝an－2＋an，进而证明等差数列．5．命题p：{}an是等差数列；命题q：等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝kn＋ba1an＋1对任意n(n∈N*)恒成立，其中k，b是常数．*(1)若p是q的充分条件，求k，b的值；**(2)对于(1)中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；解：(1)设{an}的公差为d，当d≠0时原等式可化为1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝kn＋ba1an＋1，所以1d·nda1an＋1＝kn＋ba1an＋1