湖南省长沙市长沙县第九中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（PDF）

长沙县九中2019年下高二一期期中考试数学试卷第1页共4页长沙县九中2019年下高二一期期中考试试卷数学时量：120分钟总分：150分制卷：陈殿权审核：林曙光一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.抛物线x2＝4y的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，1）D．（l，0）2.命题“∃x0＞1，使得x0－1≥0”的否定为（）A．∃x0＞1，使得x0－1＜0B．∀x≤1，x－1＜0C．∃x0≤1，使得x0－1＜0D．∀x＞1，x－1＜03.双曲线C：22214xya的实轴长为6，则C的渐近线方程为（）A．y＝13xB．y＝±3xC．y＝23xD．y＝32x4.若a＝(1，－1，－1)，b＝(0,1,1)且(a＋λb)⊥b则实数λ的值是()A．0B．1C．-1D．25.设抛物线214yx的焦点为F，点P在抛物线上，则“||3PF”是“点P到x轴的距离为2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.P是双曲线1366422yx上一点，21,FF是双曲线的两个焦点，且171PF,则2PFA.33B.1C.1或33D.477.空间四边形ABCD中，连接AC、BD，设G是CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于长沙县九中2019年下高二一期期中考试数学试卷第2页共4页A.AG→B.CG→C.BC→D.12BC→8.已知空间直角坐标系中点P(2,1,3)，若在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，则点Q的坐标为()A．(0,0,1)B．(0,0,2)C．(0,0,3)D．(0,1,0)9.已知等腰三角形ri底边两端点是)0,3(),0,3(BA,则顶点i的轨迹是()A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个椭圆D.某双曲线的一支10.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”，“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是()A.①②B.③④C.①③D.①④11.已知曲线C的方程为x24－k＋y2k－3＝1，给定下列两个命题：p：若k3，则曲线C为双曲线；q：若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则3k4，其中是真命题的是()A．p∧qB．p∧(¬q)C．(¬p)∧qD．(¬p)∧(¬q)12.椭圆22221(0)xyabab的四个顶点为A、B、C、D,若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是A.352B.518C.358D.512二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.抛物线xy62的准线方程为＿＿＿＿＿14.原命题p：若yx,都是奇数，则yx是奇数.写出否命题及非命题：否命题：________________________________________________________________.非命题：________________________________________________________________.15.若点P到点)0,4(F的距离比它到直线05x的距离小1，则点P的轨迹方程是长沙县九中2019年下高二一期期中考试数学试卷第3页共4页_______________________________________.16.二面角α－l－β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为________.三、解答题（共6小题；共70分）17.（本题满分10分）已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，求ab的最小值。18.（本题满分12分）命题p:关于x的不等式0422axx对一切Rx恒成立，命题q:函数xaxf)25()(是增函数，若“pq”为真，“pq”为假，求实数a的取值范围。19.（本题满分12分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)求直线BN与直线CB1所成角的大小．长沙县九中2019年下高二一期期中考试数学试卷第4页共4页20.（本题满分12分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝12x＋m交椭圆C于点A，B两点，且|AB|＝5，求m的值．21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(2)求点E到平面PBD的距离．22.（本题满分12分）已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值？长沙县九中2019年下高二一期期中考试试卷数学参考答案1-12：CDCAC,AACBC,BD13.23x14.略15.xy16216.2a17.55318.2a19.(1)略，（2）90°20.(1)由题意可得a2＝b2＋c2＝22ca＝32，解得a＝2，b＝1.∴椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝12x＋mx2＋4y2＝4，得x2＋2mx＋2m2－2＝0，∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝52×4m2－8m2＋8＝5·2－m2＝5.解得m＝±1.21.依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．(1)BD→＝(－1,2,0)、PB→＝(1,0，－2)，设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则n·BD→＝0n·PB→＝0，即－x＋2y＝0x－2z＝0，不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有cos〈n，BE→〉＝n·BE→|n|·|BE→|＝26×2＝33.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(2)由（1）可知，平面PBD的一个法向量n＝(2,1,1)，)1,1,0(BE设点E到平面PBD的距离为d，则3662nnBEd.22.(1)当m＝1时，M(1,0)，此时，点M为抛物线C的焦点，直线l的方程为y＝x－1，设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝4x，y＝x－1，消去y得，x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，∴圆心坐标为(3,2)．又|AB|＝x1＋x2＋2＝8.∴圆的半径为4，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.(2)若存在这样的点M，使得1|AM|2＋1|BM|2为定值，由题意可设直线l的方程为x＝ky＋m，则直线l的方程与抛物线C：y2＝4x联立，消去x得，y2－4ky－4m＝0，则y1y2＝－4m，y1＋y2＝4k，∴1|AM|2＋1|BM|2＝1x1－m2＋y21＋1x2－m2＋y22＝1k2＋1y21＋1k2＋1y22＝y21＋y22k2＋1y21y22＝y1＋y22－2y1y2k2＋1y21y22＝16k2＋8mk2＋1·16m2＝2k2＋m2m2k2＋1，因此要与k无关，只需令m2＝1，即m＝2，此时1|AM|2＋1|BM|2＝14.∴存在定点M(2,0)，不论直线l绕点M如何转动，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值．