雅礼中学2019届高三第三次模拟试卷文科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。时量120分钟。满分150分。命题人:高三数学组审题人:高三数学组一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多【答案】B【解析】M={x|-1≤x≤3},集合N是正奇数集,M∩N={1,3}.2.在复平面内,向量AB→对应的复数是2+i,向量CB→对应的复数是-1-3i,则向量CA→对应的复数为()A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i【答案】D【解析】CA→=CB→+BA→=CB→-AB→=-1-3i-(2+i)=-3-4i.3.命题p:不等式xx-1>xx-1的解集为{}x|0<x<1;命题q:在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要条件,则()A.p假q真B.“p且q”为真C.“p或q”为假D.p真q假【答案】B【解析】∵xx-1>xx-1⇔xx-1<0⇔0<x<1,∴p为真命题.又在△ABC中,A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB,则q为真命题.所以p和q都是真命题,即“p且q”为真.故选B.4.已知f(x)=x+2,x≤-1,x2,-1x2,2x,x≥2,若f(x)=3,则x的值是()A.1B.1或32C.1,32或±3D.3【答案】D【解析】该分段函数的三段各自的值域为(]-∞,1,[)0,4,[)4,+∞,而3∈[)0,4,所以f(x)=x2=3,解得x=±3,而-1x2,所以x=3.5.已知程序框图如下图所示,该程序框图的功能是“求数列12n(n∈N*)的前10项和”,则判断框内应填写()A.m<10?B.m≤20?C.m≤10?D.m<20?【答案】B【解析】k=1时,m=2,S=0+12;k=2时,m=4,S=12+14;k=3时,m=6,S=12+14+16;…k=10时,m=20,S=12+14+16+…+120;k=11时,结束循环,所以选B.6.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()A.3B.2C.6D.23【答案】D【解析】直线的方程为y=3x,圆心为(0,2),半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1,从而所求弦长为222-12=23.7.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈-π2,π2时,f(x)=x+sinx,则()A.f(1)f(2)f(3)B.f(2)f(3)f(1)C.f(3)f(2)f(1)D.f(3)f(1)f(2)【答案】D【解析】由f(x)=f(π-x),得函数f(x)的图象关于直线x=π2对称,又当x∈-π2,π2时,f′(x)=1+cosx0恒成立,所以f(x)在-π2,π2上为单调增函数.f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),且0π-31π-2π2,所以f(π-3)f(1)f(π-2),即f(3)f(1)f(2),故选D.8.战国时人们已经知道通过观察水的结冰与否来推知气温下降的程度。例如,《吕氏春秋·慎大览·察今》就记载道:“见瓶中之冰而知天下之寒。”这种做法被后世人们所认可,汉代的《淮南子·兵略训》就有几乎同样的记载:“见瓶中之水,而知天下之寒暑”,这是因为,通过观察瓶中水结冰或冰融化,确实可以大致知道气温的寒暖变化。直到比利时人南怀仁(F.Verbiest,1623~1688)于清顺治十六年(1659)来华,他著述的关于温度计的一本小册子《验气图说》于1671年刊行,温度计的神秘面纱才被逐渐的在中华大地揭开.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D.【解析】由题意知,平均最高气温高于20℃的有七月,八月,故选D9.某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积是()A.32B.20+234C.24+62D.24+82【答案】C【解析】将三视图还原成几何体的直观图如图所示.它的四个面的面积分别为8,6,10,62,故面积应为24+62.10.如图为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段,则其解析式为()A.y=3sinx-π3B.y=3sin2x-23πC.y=3sin2x+π3D.y=3sin2x-π3【答案】B【解析】依题意A=3,T2=5π6-π3=π2,即T=π,∴ω=2.∵图象上的点π3,0为“第一点”,∴2×π3+φ=0,即φ=-2π3,满足|φ|<π.故选B.11.某同学每周5次上学途中所花时间(单位:min)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】由题设列方程组得15x+y+10+11+9=10,15[x-102+y-102+02+12+-12]=2,化简得x+y=20,x-102+y-102=8.,解之得x=12,y=8或x=8,y=12.从而|x-y|=4.12.设双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F,2F,过2F的直线与双曲线的右支交于两点A,B,若1:3:4AFAB,且2F是AB的一个四等分点,则双曲线C的离心率是()A.52B.102C.52D.5【解析】若1:3:4AFAB,则可设13AFm,4ABm,因为2F是AB的一个四等分点;若214BFAB,则2BFm,23AFm,但此时12330AFAFmm,再由双曲线的定义,得122AFAFa,得到0a,这与0a矛盾;若214AFAB,则2AFm,23BFm,由双曲线的定义,得12112122532AFAFmaBFaBFBFBFmama,则此时满足22211AFABBF,所以1ABF△是直角三角形,且190BAF,所以由勾股定理,得222222121232AFAFFFaac,得102e,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,是一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对.【答案】3【解析】还原如图,相互异面的线段有AB与CD,EF与GH,AB与GH,共3对.14.在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程x2-23x+2=0的两根且2cos(A+B)=1,则AB=________.【答案】10【解析】设AB=c,∵a+b=23,ab=2,cosA+B=12,∴cosC=-12.又∵cosC=a2+b2-c22ab=a+b2-2ab-c22ab=8-c24=-12,∴c2=10,∴c=10,即AB=10.15.在等差数列{an}中,a1=-2018,其前n项和为Sn,若S1212-S1010=2,则S2019的值等于________.【答案】0【解析】由S1212-S1010=12a1+a12212-10a1+a10210=12(a12-a10)=12×2d=d=2,∴S2019=016.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(1-x),已知当x∈[0,1]时f(x)=(12)1-x,则①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x-3.其中所有正确命题的序号是________.【答案】①②④【解析】由函数f(x)是定义在R上的偶函数知f(1-x)=f(x-1),即f(x+1)=f(x-1),从而可得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1-1)=f(x),∴2是函数f(x)的一个周期.又x∈[0,1]时,f(x)=(12)1-x,∴函数f(x)的简图如下图,由简图可知②④也正确.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。17.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知向量(2,)mcba,(cos,cos)nAC,且mn,(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若4ABAC,求边BC的最小值.【解析】(Ⅰ)由已知,可得0)cos,(cos),2(CAabcnm,即0coscos)2(CaAbc.由正弦定理,得0cossin2cos)sin4sin2(CARABRCR,∴BCAACCAABsin)sin(cossincossincossin2,由,1cos2,0sinAB得∴60A.…………6分(Ⅱ)由已知,得460coscos||||cbAACABACAB,∴8bc.∴82222bcbcbcbccba,即BC的最小值为22.…………12分18.如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,EFAB//,矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直.已知2AB,1EF.(1)求证:平面DAF平面CBF;(2)设几何体FABCD、FBCE的体积分别为1V、2V,求12:VV的值;【解析】如图1(1)证明:平面ABCD平面ABEF,ABCB,平面ABCD平面ABEF=AB,CB平面ABEF.AF平面ABEF,CBAF,又AB为圆O的直径,BFAF,AF平面CBF.AF平面ADF,平面DAF平面CBF.………………………6分(2)几何体FABCD是四棱锥、FBCE是三棱锥,过点F作ABFH,交AB于H.平面ABCD平面ABEF,FH平面ABCD.则113VABBCFH,211()32VEFHFBC.因此,1222241VABVEF.………………………12分19.已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(n∈N*).(1)求p的值及an;(2)若bn=22n-1an,记数列{bn}的前n项和为Tn,求使Tn>910成立的最小正整数n的值.【解析】(1)方法一:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,∴a2=3p+2,又等差数列的公差为2,∴a2-a1=2,∴2p=2,∴p=1,∴a1=p+2=3,∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1.方法二:当n=1时,S1=p+2=a1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2,∴a2=3p+2,由已知a2-a1=2,∴2p=2,∴p=1,∴a1=p+2=3,∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1.(2)由(1)知,bn=22n-12n+1=12n-1-12n+1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=11-13+13-15+15-17+…+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1.又∵Tn>910,∴2n2n+1>910,∴2