向量综合复习课

平面向量基本概念向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.00的方向是任意的，且和任何向量都共线1.单位向量都相等；判断下列命题的真假：3.长度不等且方向相反的两向量不一定共线；7.||||abababab、：，；若足且与同向满则2.aaa线单；||与非零向量共的位向量是6.//////abbcac，，；若且则(假)(真)(假)(假)(假)//abab；4.若，与的方向相同或相反则abab、为；5.若与不共均非零向量线，则(假)(真)一、知识回顾：1.向量的加法运算OABOBABOA三角形法则OABCOCOBOA平行四边形法则坐标运算),(),,(2211yxbyxa设：则ba),(2121yyxx2.向量的减法运算1）减法法则：OABOBOABA2）坐标运算),(),,(2211yxbyxa设：则ba),(2121yyxx),(1212yyxx),(),,(2211yxByxAAB设则思考：若非零向量，则它们的模相等且方向相同。同样若：ba2121yyxxba则,,,,2211yxbyxa例1化简（1）（AB+MB）+BO+OM（2）AB+DA+BD－BC－CA分析利用加法减法运算法则，借助结论AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0进行变形.解：原式=AB+（BO+OM+MB）=AB+0=AB（1）（2）原式=AB+BD+DA－（BC+CA）=0－BA=AB例2：已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5）求（1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标；（3）AB－AC的坐标.答案：（1）AB=（－3，4），AC=（－4，－4）（2）AB+AC=（－7，0）（3）AB－AC=（1，8）例3设，若，求的值。),2(),7,(),2,3(cbacba2，解：由已知条件，得：ba2=（3，2）-2（λ，7）=（3-2λ，-12）=（-2，μ）∴3-2λ=-2μ=-12∴λ=，μ=-12253.实数与向量的积定义：aaa0时，与反向；aaaa其中0时，与同向；aaaa=0时，00a坐标运算：设，则),(yxa),(),(yxyxa4、平面向量的数量积定义：ba,0,0,0,cosbaba其中问题：a00坐标运算则设,,,,2211yxbyxaba2121yyxx①②aa2a③求两个向量夹角的公式是：babacos,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与DAAB62134120cosDAABDAAB进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。92ADBCAD或162ABCDAB或120例4、BCADDABADABABCD.1:,60,3,4,,求已知中在平行四边形如图CDAB.2DAAB.3BACD60例5.(1)(3,4)(5,2),cosababab已知，求，，，(2,3)(2,4),(1,2),abc(2)已知，求2)()()()ababababcab，（，，(3)已知向量a=(1，2)，b=(－3，4)，求a在b方向上的投影。练3.若的夹角为钝角，则实数x的取值范围为_____________)4,3(),,2(bxa与.1,2,1,1,,.abaab例6已知且与的夹角为锐角求实数的取值范围,,0035233838,,1.3333abababab设||=，||=4，且(+)(+)=，则与的夹角为。2.21332ababcmabdambcdm设||=，||=，与的夹角为，=+，=，且，则。1206或-13.-2,12,135||||OAOBkOAOBOAOBk设=(),=(),与的夹角为，且，则。-6例7：向量的夹角问题5、平面向量的基本定理2211eea1e2e设和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量，有且只有一对实数使a这种表示是唯一的，即若212122122111,且则eeee②注意：不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。①21,ee21和例8：已知a=（1，0），b=（1，1），c=（－1，0）求λ和μ，使c=λa+μb.答案：λ=－1，μ=07.两个非零向量互相垂直的充要条件①②0baba则设,,,,2211yxbyxa02121yyxxba6、两个非零向量平行（共线）的充要条件ba//ba则设,,,,2211yxbyxa0//1221yxyxba21.(2,3)(2,1),(34,3),,ABaxxxaABx设、且则。3.(1,2)(,1),2)//(2)abxababx设、且(，则。.(1,2)(3,),OAOBmOAABm例9设、且，则。2.(,12)(4,5),(10,),OAkOBOCkABCk设、且、、三点共线，则。-111或-20.54例10已知a=(1,2),b=(－3,2),当k为何值时,ka+b与a－3b平行?平行时它们是同向还是反向?分析先求出向量ka+b和a－3b的坐标，再根据向量平行充要条件的坐标表示,得到关于k方程,解出k,最后它们的判断方向.解:ka+b=k(1,2)+(－3,2)=(k－3,2k+2)a－3b=(1,2)－3(－3,2)=(10,－4)(ka+b)∥(a－3b)－4(k－3)－10(2k+2)=0K=－13∵ka+b=104,33=－13(a－3b)∴它们反向两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.babakkbaba2,,60,4,5使为何值时问夹角为与且已知例11022:babakbabak解021222bbakak1514:k解得babakk2,1514时所以当016260cos451225kk例12设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(ab)，求证：A、B、D三点共线。分析要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=a+5b∴AB=2BD且AB与BD有公共点B∴A、B、D三点共线AB∥BD例3ab)(31babta、、例13.若、是两个不共线的非零向量，问是否存在实数t，使得同起点的三向量的终点在同一直线上？若存在，请求出实数t；若不存在，请说明理由.三.课堂练习与拓广延伸(1)且起点坐标为(1,2)终点坐标为(x,3x),则,),4,3(abab______b(2)则),4,3(),1,3(),2,1(cba()____abc(3)已知ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1)BC边上高为AD,求D点和的坐标.AD【知识检测】(4)已知求以及与的夹角.,),,2(),,2(),4,3(caycxbacb,bc(5)下列命题正确的是()A.若夹角是,则b,a||||cosbabacbcacba)(B.C.若A(-2,4),B(2,1),则与X轴正向夹角余弦值为D.则BA54),4,(ma723||ma(6)以原点和A(5,2)为两顶点作等腰直角三角形,∠B=90°,求点B和的坐标.AB(7)已知求使且的x,y的值.),3,4(),4,3(ba,)(abyax1||byax,3,|b|4,|a1.设|23垂直？与为何值时，向量则当且夹角为能力提高题：babakk.b,a2.的夹角与，求，满足已知非零向量能力提高题：baababa310k6备用练习分析:由已知启发我们先用坐标表示向量然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。2,3,2,1babakba3bakba3例2.已知,当k取何值时,1).与垂直?2).与平行?平行时它们是同向还是反向?解：1）22,32,32,1kkkbak4,102,332,13ba时当03babak这两个向量垂直0422103kk由解得k=192),,3存在唯一实数平行时与当babakbabak3使得31k31k,3,31平行与时因此babakk此时它们方向相反。babak3和.,|,|2||),1,1(),,2(),5,(.2的值求使上的点直线已知yxBCACCAByBxA222222|,|2||:或或或解CBACCBACBCACBCACBCAC.2||2|:|不同与注BCACBCAC35121)2(5121)2()2(2)1(yxyx时当1712125121)2(22)2(yxyx时当.1,73,5,或的值分别为yx三课堂练习已知平面内三个点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），且ABBC//，则x的值为1的边长为等边三角形ABCaccbbacCAbBCaAB那么,,,的值为则共线与若不共线已知向量kbaekebeekaee,,,,,212121①②③ABC④的夹角是与则且若baababa,,2,1X=12314解：(a+3b)·(7a-5b)=07a+16a·b-15b=0(a-4b)·(7a-2b)=07a2-30a·b+8b2=0a2=b22a·b=b2∴cos==60。20、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，(1)求a与b的夹角；(2)已知|a|=,|b|=,且a与b的夹角为，试求a+2b与a-b的夹角的大小。32621||||baba