高中数学选修4-5不等式选讲老师版

选修4-5不等式选讲A组(供高考题型为选择、填空题的省份使用)1．不等式x＋|2x－1|3的解集为________．解析原不等式可化为2x－1≥0，x＋2x－13或2x－10，x－2x－13.解得12≤x43或－2x12.所以原不等式的解集是x－2x43.答案x－2x432．不等式|x－1|＋|x＋2|5的解集为________．解析法一当x－2时原不等式即1－x－2－x5，解得－3x－2；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x5，因为35恒成立，则－2≤x≤1；XkB1.com当x1时，原不等式即x－1＋2＋x5，解得1x2.综上，原不等式的解集为{x|－3x2}．法二不等式|x－1|＋|x＋2|5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x|－3x2}．答案{x|－3x2}3．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．解析1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．答案94．(2013·广州模拟)不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是________．解析∵|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3，∴a≤3.答案(－∞，3]5．使关于x的不等式|x＋1|＋kx有解的实数k的取值范围是________．解析|x＋1|＋kx⇔kx－|x＋1|，又x－|x＋1|＝2x＋1，x－1，－1，x≥－1，∴x－|x＋1|的最大值为－1.∴k－1.答案(－∞，－1)6．(2013·湖南六校联考)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|a的解集是全体实数，则a的取值范围是______．新-课-标-第-一-网解析令f(x)＝|x－3|＋|x－4|，则|x－3|＋|x－4|≥|x－3＋4－x|＝1，则f(x)min＝1，故a≤1.答案(－∞，1]7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析令t＝|x＋1|＋|x－2|，得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.答案(－∞，－3]∪[3，＋∞)8．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．解析原不等式可化为x－12，1－2x－2x－1≤6或－12≤x≤12，1－2x＋2x＋1≤6或x12，2x－1＋2x＋1≤6，解得－32≤x≤32，即原不等式的解集为x－32≤x≤32.答案x－32≤x≤329．(2013·江西重点盟校二次联考)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________．解析∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，只需|m－1|≤4，即－3≤m≤5.答案[－3,5]10．(2013·临沂模拟)对任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a满足________．解析∵|2－x|＋|3＋x|≥5，∴要使|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，即5≥a2－4a，解得－1≤a≤5.答案[－1,5]11．若不等式|3x－b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围是________．解析|3x－b|4⇒b－43xb＋43⇒0≤b－431，3b＋43≤4⇒5b7，即b的取值范围为(5,7)．新-课-标-第-一-网答案(5,7)12．(2013·西安八校联考)已知关于x的不等式|x－1|＋|x－a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________．解析|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|a－1|，要使关于x的不等式不是空集，则|a－1|≤8，∴－7≤a≤9，即a的最小值为－7.答案－713．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋a－14＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________．解析∵二次方程x2＋x＋a－14＋|a|＝0有实根，则由Δ＝1－4a－14＋|a|≥0得a－14＋|a|≤14，由绝对值的几何意义知0≤a≤14.答案0，1414．不等式x＋1x|a－5|＋1对于任一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．解析x＋1x＝|x|＋1|x|≥2，所以|a－5|＋12，即|a－5|1，∴4a6.答案(4,6)B组(供高考题型为解答题的省份使用)1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝－x－5，x－12，3x－3，－12≤x4，x＋5，x≥4.当x－12时，由f(x)＝－x－52得x－7，∴x－7；当－12≤x4时，由f(x)＝3x－32得x53，新-课-标-第-一-网∴53x4；当x≥4时，由f(x)＝x＋52，得x－3，∴x≥4.故原不等式的解集为xx－7或x53.(2)画出f(x)的图象如图：∴f(x)min＝－92.2．设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.证明因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.3．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明法一因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)23，①1a＋1b＋1c≥3(abc)－13，②所以1a＋1b＋1c2≥9(abc)－23.故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥3(abc)23＋9(abc)－23.又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)23＝9(abc)－23时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥ab＋bc＋ac＋31ab＋31bc＋31ac≥63.③所以原不等式成立，当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．4．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，求a的取值范围．解∵a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可．∵x0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5，知01u≤15，∴a≥15.5．(2013·新课标全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－1|＋|2x＋2|＝－4x－1x－13－1≤x124x＋1x≥12画出f(x)的图象，在同一坐标系中，画出g(x)＝x＋3的图象．∴f(x)g(x)的解集为x|0x23.(2)∵a－1，则－a212，∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|＝－4x＋1－ax－a2a＋1－a2≤x124x＋a－1x≥12当x∈－a2，12时，f(x)＝a＋1，即a＋1≤x＋3在x∈－a2，12上恒成立．∴a＋1≤－a2＋3，即a≤43，∴a的取值范围为－1，43.6．(2012·沈阳模拟)已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥52或x≤12.∴不等式的解集为x|x≤12或x≥52.注：也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0.又a0，∴a≥4.新课标第一网