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2018-2019学年湖北省孝感市孝昌县九年级（上）期末数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知∠A+∠B＝90°，且cosA＝，则cosB的值为（）A．B．C．D．3．不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．B．C．D．4．点M（a，2a）在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是（）A．4B．﹣4C．2D．±25．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P（0，﹣3），那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为（）A．4B．5C．8D．106．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）7．如图，小正方形的边长均为1，下面A，B，C，D四个图中的格点三角形（顶点在正方形的顶点上的三角形）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．10．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切与点D，过点B作PD的垂线，与PD的延长线相交于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为．11．给出下列说法及函数y＝x，y＝x2和y＝．①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞，那么a＞1；③如果＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；④如果a2＞＞a时，那么a＜﹣1．以上说法正确的是．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB上中线CD，得到第1个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第2个三角形DEF；依次作下去…则第1个三角形的面积等于，第n个三角形的面积等于．三．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）13．计算：2cos30°﹣tan60°+sin30°+tan45°．14．已知：点E在线段AB上，．（1）如图1，AB是△ABC的边，作EF∥BC交边AC于点F，连接BF．求的值．（2）如图2，AB是梯形ABCD的一腰，AD∥BC，且BC＝2AD，作EF∥BC交边DC于点F，连接BF．求的值．15．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sinB＝，求AC的长．16．如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB＝8cm，CD＝2cm，求BE的长．17．如图，抛物线y＝+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图象直接写出当x为何值时y＞0？18．将三个除号码外完全相同的小球放入不透明的盒子中，小球上分别标有数字1，2，3，游戏者从中随机摸出一球，记下数字后放回盒中，充分摇匀，再随机摸出一球并记下数字．如果摸得的两球所标数字之积为奇数，那么游戏者获胜；否则，其游戏结果为输．你认为该游戏规则是否公平？请画树状图或列表予以说明．四．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分）19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）20．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．21．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB＝45°．（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE＝5cm，求点E到AB的距离．五．解答题（共1小题，满分6分，每小题6分）22．如图（1），是一面矩形彩旗完全展开时的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸锻旗面．（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤做旗杆，求旗杆的最大直径．（精确到1cm）（2）在一个无风的天气里，如图（2）那样将旗杆斜插在操场上，旗杆与地面成60°角，如果彩旗下角E恰好垂直地面，求旗杆露在地面以上部分的长度DG的近似值．（此时旗杆的直径忽略不计，精确到1cm）六．解答题（共1小题，满分6分，每小题6分）23．已知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．七．解答题（共1小题，满分7分，每小题7分）24．如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AD，BC的中点，连结DF并延长交AB的延长线于点G，请解答下列问题：（1）△BFG≌△CFD吗？为什么？（2）试说明EF＝（AB+CD）且EF∥AB，EF∥CD．八．解答题（共1小题）25．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值．（3）如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．故选：C．2．【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，∴cosB＝cos（90°﹣∠A）＝sinA，又∵sin2A+cos2A＝1，∴cosB＝＝．故选：D．3．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2种，所以两次都摸到白球的概率是＝，故选：B．4．【解答】解：∵点M（a，2a）在反比例函数y＝的图象上．∴2a＝．∴解得：a＝±2，故选：D．5．【解答】解：过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的⊙O的最短的弦，连接OB，则由垂径定理得：AB＝2AP＝2BP，在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理得：PB＝4，则AB＝2PB＝8，故选：C．6．【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．7．【解答】解：∵AC＝，BC＝2，AB＝A：三边分别为：1，，2B：三边分别为：1，，，C：三边分别为：，，3D：三边分别为：2，，根据如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似∴B中的三角形与△ABC相似．故选：B．8．【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s＝，当2＜x≤3，s＝1，由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．故选：C．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．【解答】解：sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝×+×＝．故答案为：．10．【解答】解：连接DO解：连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°，∵∠C＝90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴∴∴PA＝4故答案为411．【解答】解：联立，解得，，所以，两交点坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，1），由图可知，＞a＞a2时，0＜a＜1，故①正确；a2＞a＞时，a＞1或﹣1＜a＜0，故②错误；＞a2＞a时，a值不存在，故③错误；a2＞＞a时，a＜﹣1，故④正确；综上所述，说法正确的是①④．故答案为：①④．12．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD，∵∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，∴第一个等边三角形的边长CD＝DB＝AB＝AC＝a，∴第一个三角形的面积为a2，第二个等边三角形的边长EF＝DB＝a，…第n个等边三角形的边长为a，所以，第n个三角形的面积＝×a×（•a）＝．故答案为a2，．三．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）13．【解答】解：原式＝2×﹣++＝1．14．【解答】解：（1）如图1，∵，∴，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，＝＝，设S△AEF＝a，则S△ABC＝9a，∴S四边形EBCF＝9a﹣a＝8a，∵，∴＝，∴S△BEF＝2a，∴＝＝；（2）如图2，设AD＝x，则BC＝2x，连接AC，交EF于G，连接AF，∵EF∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴，∴，EG＝x，∵AD∥EF∥BC，∴，同理可得，∴，FG＝x，∴EF＝x+x＝x，∵＝＝，设S△AEF＝S，则S△BEF＝2S，∴＝＝＝，∴S△ADF＝S，∵＝＝，＝，∴S△BFC＝3S，∴＝＝．15．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵sinB＝，∴∠B＝∠BAD＝45°，∵AB＝，∴AD＝BD＝AB＝3，∵BC＝7，∴DC＝4，∴在Rt△ACD中，AC＝＝5．16．【解答】解：∵半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB＝8cm，∴AC＝4cm，设CO＝xcm，则DO＝AO＝（x+2）cm，在Rt△AOC中：AO2＝CO2+AC2，∴（x+2）2＝42+x2，解得：x＝3，∵AO＝EO，AC＝CB，∴BE＝2CO＝6cm．17．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣2得﹣b﹣2＝0，解得b＝﹣，所以抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，整理得x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，所以B点坐标为（4，0），当x＜﹣1或x＞4时，y＞0．18．【解答】解：不公平．因为根据题意可列表如下：123112322463369从列表可以看出所有可能结果共有9种，且每种结果发生的可能性相同，其中结果为奇数的有4种，结果为偶数的有5种，即结果为奇数的概率为，而结果为偶数的概率为，所以游戏规则不公平．四．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分）19．【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC＝10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，CE＝km．20．【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：设A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ab．根据