湖北省龙泉中学、随州一中、天门中学三校2019年高三数学4月联考试题 理（PDF）

2019年龙泉中学、随州一中、天门中学三校高三4月联考理科数学试题第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z在复平面上对应的点的坐标为（-1,1）,则()A.z-1是实数B.z-1是纯虚数C.z-i是实数D.z+i是纯虚数2.设A，B，U是三个集合，且,,AUBU则“()()UUxCACB”是“()UxCAB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知311log2018531(),3,(10),,,5abcabc则的大小为（）A.abcB.bcaC.bacD.acb4.命题“若220,00abab则且”的否定是（）A.若220,00.abab则且B.若220,0.abab则C.若220,00.abab则或D.若22220,0.abab则5.如图，角,Ox均以为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则OAOB（）A.sin()B.sin()C.cos()D.cos()第5题图第6题图第7题图6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积为（）A.163B.323C.16D.327.我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作（数书九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的5,1,2,nx则程序框图计算的结果为（）A.15B.31C.63D.1278.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图如图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m，2m，平均数分别为1s，2s，则下列结论正确的是（）A.1212,mmssB.1212,mmssC.1212,mmssD.1212,mmss9.已知点P在抛物线24,(2,1)yxPQ上那么点到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.1(,1)4B.1(,1)4C.(1,2)D.(1,2)10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为（）A.116B.232C.132D.16411.在平面直角坐标系xOy中，对于点（,xy），定义变换：将点(,)xy变换为点(,),ab使得tan,tan,xayb其中,(,).22ab这样变换就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线，则四个函数2122(0),(0),yxxyxx34(0),ln(1)xyexyxx在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的四条曲线（如图）依次是（）A.②③④①B.③②①④C.②③①④D.③②④①12.已知直线22:10(0)laxbyab与22:100Oxy有公共点，并且公共点的横、纵坐标均为整数，则这样的直线共有（）条.A.60B.66C.72D.78第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题:本小题共4小题，每小题共5分。13.若31()nxx展开式的二项式系数之和为8，则展开式中含x项的系数为.14.已知函数()sin()(0,0)fxAxBA的部分图象如图所示，则函数(4)fx图象的对称中心为.15.若任取实数对(,)(01,01),xyxy则“12xyx”的概率为.16.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠60,1,ABCPAPCPB2,PD点E为线段PD上一点，且2PEED，则点P到平面ACE的距离为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且3tantan.coscABaB（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的面积的最大值.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知,PAABCD平面且四边形ABCD为直角梯形，,2,1,,2ABCBADPAADABBCME点分别为PA，PD的中点.（1）求证：CE∥平面PAB；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长.19.（本小题满分12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”成为人们交流的一种主要方式，某机构通过网络平台对“使用微信交流”的态度进行调查，有数万人参与（全部参与者年龄均在[15，65]之间），现从参与者中随机选出200人，经统计这200人中使用微信交流的占45.将这些使用微信交流的人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人参加网络春晚活动，求至少有1人年龄在[35，45)的概率；（2）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不使用微信交流的的中老年人有26人，问是否有99%的把握认为“使用微信交流”与年龄有关？附：20()PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22(),.()()()()nadbcKnabcdabcdacbd其中20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2，F为椭圆C的右焦点，A（－a,0），||3.AF（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，P为椭圆C上一点，AP的中点为M，直线OM与直线4x交于点D，过O且平行于AP的直线与直线4x交于点E.求证：.ODFOEF21.（本小题满分12分）已知函数2()22.xfxxxxe（1）求函数()fx的极值.（2）当0,x时证明23()22ln.fxxxxex:（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为(0)，且过点M（0，1）.以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin4cos.（1）求直线l的参数方程（设t为参数）与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l经过点（1，0），且与曲线C相交于A，B两点，求11||||MAMB的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||2|1|(0).fxxmxm（1）当2m时，求不等式()8;fx的解集（2）若不等式(1)3fx的解集为，求实数m的取值范围.2019年龙泉中学、随州一中、天门中学三校高三4月联考理科数学参考答案一、选择题123456789101112CCCDCBCDAACC二、填空题13.314.（,13k）（kZ）15.51216.7813三、解答题17.解：(1)在△3tantan,coscABCABaB中,3sinsinsin,sincoscoscosCABABAB……………………………………（2分）3sinsincossincossincoscoscosCABBAABAB即………………………（4分）31,tan3,0,sincos3AAAAA则又…………（6分）(2)222222cos,2abcbcAbcbca又224bcbc…………………………………………………（8分）222,,bcbcbc又当且仅当时等号成立4bc……………………………………………………………（10分）△ABC面积的最大值maxmax11(sin)4sin3223SbcA………………（12分）18.（1）证明：连接BM，ME，因为点M，E分别是PA，PD的中点，1,2MEADME∥,ADBC∥,,MEBCME四边形BCEM为平行四边形，CE∥BM.……………………………………………………（3分）又,,BMPABCEPAB平面平面CE∥平面PAB.……………………………………………（4分）（2）如图，以A为坐标原点建立空间坐标系Axyz，则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)BCDPM.……………………（5分）(1,0,2),(0,2,1),BPDM(,0,2),01,BQBP设………………………………………（6分）(,1,2),CQCBBQ又22(1)cos,.515CQDM…………………………………………（7分）222221,1,[1,2],4cos,,5510641cos,.61055156,|cos,|.65ttttCQDMttCQDMtttCQDMt设则当且仅当即时取得最大值15,.55CQDMBQBP即直线与所成角取得最小值此时…………（12分）19.（1）10(0.010.0150.030.01)10.035,aa得……………（2分）所以第1，2，3组人数分别为16，24，56，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取人数分别为2，3，7，……………………………………（4分）设从12人中随机抽取3人至少有1人年龄在[35，45)为事件A，则3531221()1.22CPAC…………………………………………………………（6分）（2）由题意得2×2列联表不使用微信交流使用微信交流合计青少年（人）1496110中老年（人）266490合计（人）40160200………………………………………………………………………………………（8分）22200(14642696)8.0816.635,4016011090K……………………………………（10分）所以有99%的把握认为春节期间打算燃放烟花爆竹与年龄有关.……………………（12分）20.（1）221.43xy……………………………………………………（4分）（2）证明：由（1）得0011(2,0).(,),(,).AMxyPxy设由题意可知，直线AP的斜率存在且不为0，故设直线AP的方程为(2)(0).ykxk将其代入椭圆方程，并整理得2222(43)1616120,kxkxk212162,43kxk…………………………………………（6分）即22286(,),4343kkMkk2226343,84433.434,(4,).kkOMkkkOMyxkxDk直线的斜率是直线的方程是令得直线OE的方程是.4,(4,4).ykxxEk令得…………………………………（9分）由F（1，0），得直线EF的斜率是44,