数学试卷(理)一、单选题:1.已知集合20Axxx,ln(21)Bxyx,则ABI=()A.1,02B.1,02C.1,02D.11,22.设1i2i1iz,则||zA.0B.12C.1D.23.等比数列na中,39a,前3项和为32303Sxdx,则公比q的值是()A.1B.12C.1或12D.1或124.下列说法正确的是()A.“若1a,则21a”的否命题是“若1a,则21a”B.“若22ambm,则ab”的逆命题为真命题C.0(0,)x,使0034xx成立D.“若1sin2,则6”是真命题5.已知0.61.21.22,log2.4,log3.6xyz,则()A.xyzB.xzyC.zxyD.yxz6.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量cos,,2,1asinbvv,且abrr,则tan4的值是()A.13B.3C.3D.138910.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:将一线段AB分为两线段,ACCB,使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项,即满足512ACBCABAC,后人把这个数称为黄金分割数,把点C称为线段AB的黄金分割点,在ABC中,若点,PQ为线段BC的两个黄金分割点,设(11APxAByACuuuruuuruuur,22AQxAByACuuuruuuruuur),则1122xyxy()A.512B.2C.5D.5111.如图,在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中,P为棱11AB中点,点Q在侧面11DCCD内运动,若1PBQPBD,则动点Q的轨迹所在曲线为()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线12.已知aR,函数22,1ln,1xaxaxfxxaxx,且对任意的实数x,0fx恒成立,则a的取值范围为()A.0,2B.0,eC.1,2D.1,e二、填空题:本大题共4个小题,每个小题5分,共20分。13.已知向量ar与br的夹角为60,3ar,13abrr,则br________14.设直线与圆:相交于,两点,若32AB,则圆的面积为15.在平面直角坐标系中,是曲线04xxxy上的一个动点,则点到直线的距离的最小值是__________。16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足条件2221bcabc,1coscos8BC,则△ABC的周长为.三、解答题:本大题共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步17.在ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,且asinsincsin230sinsin3AbBCaBC.(1)求角C;(2)若ABC的中线CE的长为1,求ABC的面积的最大值.18.如图,已知三棱柱111ABCABC,平面11AACC平面ABC,90ABC,1130,,,BACAAACACEF分别是11,ACAB的中点.(1)证明:EFBC;(2)求直线EF与平面1ABC所成角的余弦值.19..20.21212223高三第七次周考理科数学参考答案1-12ACCDAAACDCCB10.因为点,PQ为线段BC的两个黄金分割点,所以512BPCQPCQB所以2515135225151APABACABACuuuruuuruuuruuuruuur5123551225151AQABACABACuuuruuuruuuruuuruuur所以115135,22xy,223551,22xy所以1122513553551xyxy13.114,415.416.5217(1)由sinsinsin230sinsin3aAbBcCaBC,得:23bsin3aabbccaC,即2223sin23abcCab,由余弦定理得3cossin3CC∴tan3C,∵0,C,∴3C.(2)由余弦定理:22121cos42ccbCEA①,②22121cos42ccaCEB,由三角形中线长定理可得:①+②得22222cba即2222()4bac∵2222coscababC,∴2242ababab∴43ab,当且仅当ab时取等号所以11433S=sinC22323ABCab18.(1)证明见解析;(2)35.(1)如图所示,连结11,AEBE,等边1AAC△中,AEEC,则平面ABC⊥平面11AACC,且平面ABC∩平面11AACCAC,由面面垂直的性质定理可得:1AE平面ABC,故1AEBC⊥,由三棱柱的性质可知11ABAB∥,而ABBC,故11ABBC,且1111ABAEAI,由线面垂直的判定定理可得:BC平面11ABE,结合EF⊆平面11ABE,故EFBC.(2)在底面ABC内作EH⊥AC,以点E为坐标原点,EH,EC,1EA方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Exyz.设1EH,则3AEEC,1123AACA,3,3BCAB,据此可得:1330,3,0,,,0,0,0,3,0,3,022ABAC,由11ABABuuuruuuur可得点1B的坐标为133,3,322B,利用中点坐标公式可得:33,3,344F,由于0,0,0E,故直线EF的方向向量为:33,3,344EFuuur设平面1ABC的法向量为,,mxyzur,则:13333,,,,33022223333,,,,002222mABxyzxyzmBCxyzxyuuuvvuuuvv,据此可得平面1ABC的一个法向量为1,3,1mur,33,3,344EFuuur此时64cos,53552EFmEFmEFmuuururuuururuuurur,设直线EF与平面1ABC所成角为,则43sincos,,cos55EFmuuurur.1920212223