中学生标准学术能力诊断性测试2019年9月测试数学试卷本试卷共150分,考试时间120分钟。一、选择题z本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R,集合A={xIx主2},B={x11至x至5},则集合(CuA)门B=A.{x11X2}B.{x11三X三2}D.{xll豆x2}C.{x11X::,;2}z2.己知i为虚数单位,-=1一匀,则复数z的模为A..JjB.Jsc;:.3D.53.已知函数f(x)满足/(2)=1,设f(xo)=儿’则“Yo=1”是“X0=2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.双曲线L-x2=n(mO,no)的离心率A.与m有关,且与n有关B.与m无关,但与n有关c.与m有关,但与n无关D.与m无关,且与n无关215.己知x+4y=2(x,y0),则一+一的最小值为XyA.4C.2+3-..fi.D.3+2-..fi.B.66.已知某函数图象如图所示,则此函数的解析式可能是A.f(x)=宁�·sine+1B.f(x)=尹;·sini+eC.f(x)=仨·COSXDf(X)=击COSX{第6题图)7将函数f仲.Jisin川cos2x图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不知,再向右平移?个单位长度,则所得函数图像的一个对称中心为A.(2π,-1)B.(-2π,一1)8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是c.(-2π,0)D.(2π,0)第1页共4页2A.一B.一33816C.一D.一一3HJ月俯视图(第8题图〉一俯视图9.设函数f(x)=cosπx,g(x)=t·2x-cos王(t:;,=0),若存在m,nE[OJ],使得f(m)=g(n)成立,则实3数t的取值范围是『SEE--’f」3-4,nvft1llt\U\、t1tf/AU,17斗「ttEE’ELD寸Ill--」3-2,AUf-|\川U\、tt1,/nu,1-4「Il--LC「iIll-l」3-4AU/lIt\门)\Ill-t/nu,1一2「llliLB「l1llJ3-2,AU/erl--\川U\1Ill-/AU,1-2「Ili--LA10.设{凡)是斐波那契数列,则乓=F;=1,l己=P:-1+l飞-2,右图是输出斐披那契数列的一个算法流程图,现要表示输出斐披那契数列的前30项,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i::,;15B.i::,;14c.i::;;29D.i::;;30�口£11.己知甲盒中有2个红球,I个蓝球,乙盒中有1个红球,2个蓝球,从甲乙两个盒中各取l球放入原来为空的丙盒中,现从甲盒中取1个球,记红球的个数为4,从乙盒中取1个球2记红球的个数为毛,从南盒中取1个球,记红球的个数为毛,则下列说法正确的是A.E(在)>E(q3)E(ι),D(在)=D(毛)>D(毛)B.E(在)<E(tJE(毛),D(q1)=D(ι)>D(qJc.E(�)E(c;JE(c;2),D(c;1)=D(c;2)D(c;3)第2页共4页-二一D.E(在)E(�3)E(�2),D(在)=D(�i)D(�3)12.如图,己知等腰三角形ABC中,AB=AC,0为BC的中点,动点P在线段OB上(不含端点〉,记丘APC=θ,现将乌4PC沿AP折起至MPC’,记异面直线BC’与AP所成的角为α,则下列一定成立的是//寸、芝才PBC.'B〈第12题图)A.B>αB..θ<αc.B+α>!!_2二、填空题z本大题共4小题,每小题5分,共20分.-元3113.己知5=8°=10,则一+-=。bD.θ+α<至2a刊+(n+2)n+314.己知数列{aJ满足a1=2,=-一-,数列{αJ的通项公式为气=an+(n+1)n+115.己知边长为2的正方形ABCD,E,F分别是边BC,DC上的两个动点,AE+AF=xAB+yAD,若x+y=3,则|坷的最小值为、16.叫圆咛+y2=1过椭圆C阳山直机椭圆C山两点川于M点四B在钱段FM上,则旦旦LIBFIIAFI三、解答题=共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17,~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.〈一〉必考题:60分.17.Cl2分)己知也4BC中,角A,B,C所对的边分别为α,b,c,且AA..J2cos--sm-=-一-.222(1)求角A的大小:E二飞/')1(2)当α=、/7,sin(A+C)=」二-,求c的值1418..(12分〉如图,在四棱锥P-ABCD中,BCl.面PCD,CDIIAB,第3页共4页AB(第18题图〉AB=2CD=2,BC=PC=Ji.,PD土AB.(1)求PD的长:(2)求直线AD与面PAB所成角的正弦值.19.(叫若数列{an}前η项和为{SJ且满足瓦=主(αn-2)协常数,且t刊,t;t:1)(1)求数列{气}的通项公式:叫ι=1-Sn且数列{ι}为等比数列,令问1Iog3bnl·批川+吓;20.(12分〕设函数f(x)=主.若存在f(x.)=f(xi)=t(其中x1x2)(1)求实数t的取值范围;(2)iiE明:2x1x2x1+不2.21.(12分〉如图,己知抛物线矿=4y,直线y=kx+l交抛物线于A,B两点,P是抛物线外一点,连接PA,PB分别交抛物线于点C,D,且CD/!AB.(1)若k=l,求点P的轨迹方程:(2)若PC=2CA,且PA平行X轴,求t:J'AB面积.(二〉远考题=共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多傲,则按所傲的第一题计分.作答时请写清题号.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)Ix=tcosα(第21题图〉在直角坐标系x句中,直线l的参数方程为{LY=l+tsinαCt为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为句12极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ"=-一一一?·3+sin()(l}求曲线C的直角坐标方程:(2)设曲线C与直线l交于点A,B两点,求IABI的取值范围.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)己知正数a,b,c满足α+b+c=l.求证-be1(1)�-;bc+ca+αb9(2)若存在非零实数t,使得不等式Itx-tI一I2t-1I剖1-tI+[2tx+3tI成立,求实数x的取值范围.第4页共4页;l.第1页共7页中学生标准学术能力测试诊断性测试2019年9月测试理科数学(一卷)答案一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.123456789101112DBBCDAACABCA二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.314.22313nn++15.216.-10三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分.17.(12分)解:(1)由2cossin222AA−=,得21)2sin2(cos2=−AA,即212cos2sin21=−AA21sin=A,………………………………3分∵A0,22A∴0,∵02sin2cos−AA,0242AA∴0,所以6=A………………………………6分(2)由1421)sin(=+AC,得1421sin=B由正弦定理:BbAasinsin=,得3=b………………………………8分由余弦定理:Abccbacos2222−+=,得cc3372−+=,4=c或1−=c(舍去)所以4=c………………………………12分18.(12分)解:(1)∵BC⊥平面PCD,∴BCPD⊥,又PDAB⊥,ABBCB=∴PD⊥平面ABCD,………2分DPACB第2页共7页∴PDDC⊥,∴PDC是直角三角形,由已知2,1PCCD==,∴1PD=.………………………………4分(2)解法1:∵BC⊥平面PCD,∴BCCD⊥,BCPC⊥在四边形ABCD中,由于//ABCD,2,2,1ABBCCD===,可以求得3AD=,………………………………6分设D到平面PAB的距离为d,直线AD与平面PAB所成的角为,则sin3ddAD==,………………………………8分∵//ABCD,CD面PAB,面PABAB∴//CD平面PAB,∴C到平面PAB的距离也为d,在三棱锥BPAC−中,PABCCPABVV−−=,∵PD⊥平面ABCD,∴PDAD⊥∴2PA=,又2,BCPCBCPC==⊥,∴2PB=,∴11121223323PABCABCVPDS−===,……………………………10分1333CPABPABVdSd−==,………………………………11分∴23d=,∴2sin33ddAD===,即直线AD与平面PAB所成角的正弦值为23.………………………………12分解法2:由(Ⅰ)知PD⊥平面ABCD,过D作DEAB⊥交AB于E,则PDDE⊥,如图以D为原点,DC、DP、DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.………………5分则(1,0,0),(1,0,2),(1,0,2),(0,1,0)CABP−−−,则(2,0,0),(1,1,2),(1,0,2)ABAPDA===−−,………6分EzyxDPACB第3页共7页设平面PAB的法向量为(,,)nxyz=,则由0,0,ABnAPn==得0,20,xxyz=++=令1z=,可得(0,2,1)n=−,………………………10分设直线AD与平面PAB所成的角为,则2sin||3||||nDAnDA==.即直线AD与平面PAD所成角的正弦值为23…12分19.(12分)解:(1)由题意,得:(2)(0,1)1nntSatttt=−−为常数,且当1n=时,得11(2)1tSat=−−,得12at=………2分由-1-1(2)1(2)21nnnntSattSant=−−=−−(),-11-=(),1nnnnntSSaaat−=−−1−=nntaa2n()………………………………4分故2nnat=………………………………5分(2)由211(22)1(1)11nnnnttbStttt=−=−−=−−−−………………………………7分由nb为等比数列可知:2213bbb=,求得13t=………………………………9分所以,13nnb=,nna32=,则nnnnnc3231log323==…………………10分设nc的前n项和为nT,则12242+333nnnT=++2311242T+3333nnn+=++,相减可得23323223T21<nnnnccc+−=+++=…………………12分20.(12分)解:第19题第4页共7页(1)()()1xexfxe−=’…………………2分1'()0;1'()0xfxxfx时,时,()xf在()1-,递增,()+,1递减,且()()11max==fxf又当0x时,()xf0;当0x时,()0xf,且()0xfx→+→时,,4分若0t,则12,0xx,而()fx在(,0)−递增,与12()()fxfx=矛盾,10t………5分(2)由(1)知:2110xx,220121xx−要证:21212xxxx+成立,只需证:112221−xxx…………………6分()xf在()1-,递增,故只需证:()()−=122212xxfxfxf即证:()()0122121122122−−−−−xexx…………………8分令1122−=xu,只需证:()10121−−uueuu,即证:()10121ln−−uuuu…………………10分令()−−=uuuu121ln()(),021u2