河南省南阳市第一中学2019届高三数学第十五次考试试题 理（PDF）

试卷第1页，总11页南阳一中2019年春期高三第15次考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2|log0Axx，133xBx，则AB（）A．|11xxB．|01xxC．|0xxD．R2.设1(zii是虚数单位），则复数22zz在平面内对应（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题是假命题．．．的是（）A．已知随机变量，若，则；B．在三角形ABC中，AB是sinAsinB的充要条件；C．向量，，则在的方向上的投影为2；D．命题“p或q为真命题”是命题“p为真命题且q为假命题”的必要不充分条件.4.将函数sin2yx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()yfx的图象，则（）A．()yfx的图象关于直线8x对称B．()fx的最小正周期为2C．()yfx的图象关于点(,0)2对称D．()fx在(,)36单调递增5．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为()A．90，86B．94，82C．98，78D．102，74试卷第2页，总11页6．若等差数列{}na的公差为2，且5a是2a与6a的等比中项，则该数列的前n项和nS取最小值时，n的值等于()A．7B．6C．5D．47．函数22lnxxyx的图象大致是（）A．B．C．D．8.实数x，y满足1|1|12xyx时，目标函数zxmy的最大值等于5，则实数m的值为()A．2B．3C．4D．59．已知(x＋1)5＋(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a7＝()A．9B．36C．84D．24310．已知圆M：4)3()3(22yx，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为边AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，OFME的取值范围是（）A.24,28B.]6,6[C.]23,23[D.4,811．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个12.已知函数yfx的定义域为R，当0x时，1fx，且对任意的实数,xyR，等式fxfyfxy成立，若数列na满足*1111nnfafnNa，且10af，则下列结论成立的是()试卷第3页，总11页A.20132016fafaB.20142017fafaC.20162015fafaD.20132015fafa第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如图，在中，13ADAC，23BPBD，若APABAC，则__________14．把A，B，C，D四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分到.A，B不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有__________种（用数字作答）．15．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为2a，则cbbc的最大值为__________．16．已知双曲线2222:1xyEab的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P，交另一条渐近线于Q，若53PFFQ，则该双曲线E的离心率为_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.各项均为正数的数列na的首项11a，前n项和为nS，且211nnnSSa.（1）求na的通项公式；（2）若数列nb满足nnnba，求nb的前n项和nT.18.已知长方形ABCD中，AB=1，AD=2，现将长方形沿对角线BD折起，使AC=a，得到一个四面体A-BCD，如图所示.试卷第4页，总11页（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD能否垂直？若能垂直，求出相应的a的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A-BCD体积最大时，求二面角A-CD-B的余弦值。19．为了改善市民的生活环境，南阳市决定对南阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现南阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在［50，60］内，可以认为该企业治污水平基本达标．（1）如图是南阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在［18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．南阳市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量，则，，）试卷第5页，总11页20．已知椭圆22121(02)2xyCbb：的左右焦点分别为1F与2F，椭圆上的点到右焦点2F的最短距离为2-1，P为坐标平面上的一点，过点P作直线1PF和2PF分别与椭圆交于点A，B和C，D，如图所示.（1）求椭圆1C的标准方程；（2）设点P在双曲线222:21Cxy（顶点除外）上运动，证明ABCD为定值，并求出此定值.21．已知函数，.（1）当ae时，求fx的单调区间；（2）若fx有两个零点，求实数的取值范围.选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1cossinxy（为参数）；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为2cossin．（1）求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）若射线:(0)lykxx≥与曲线12,CC的交点分别为,AB（,AB异于原点），当斜率(1,3]k时，求OAOB的取值范围．试卷第6页，总11页23．已知a，b，c均为正实数．求证：(1)2()()4ababcabc(2)若a＋b＋c＝3，则11132abc南阳一中2019年春期高三第15次考试理数答案1-5BACDC6-10BDBBB11-12DD13.3214．3015.2216．5217.考纲要求：1掌握等差数列、等比数列通项公式及前项和公式，2能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应问题。（1）由题意，当n=1时，222122212222=,2,(1)()0SSaaaaaa即所以。22122111121210,12,,a,1111,.nnnnnnnnnnnaaaanSSaSSaanaaana因为，且任何一项均为正数，所以则当时，两式相减得当时，也适合.所以是首项为，公差为的等差数列，所以（2）1231,1234,nnnnnnbanTn因为则①234234112234,1,(1)(1)=1,,1(1)1211.1(1)nnnnnnnnnnnnnTnTnnnbnTTnnT②①②可得（1-）当时，当时，整理可得18.考纲要求：1.以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识和理解空间中线面平试卷第7页，总11页行、垂直的有关性质与判定定理。2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.由于AB=1,AD=BC=,AC=,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,所以12＋a2＝()2⇒a＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系(如图)，则易知,显然，面BCD的法向量为,设面ACD的法向量为n＝(x，y，z),因为试卷第8页，总11页所以，令y＝，得n＝(1，，2)，故二面角A－CD－B的余弦值即为19．考纲要求：1.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）并给出合理解释。2.会用频率分布估计总体分布，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示意义。解：（1）该工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值：，故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；（2）化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162）标准分在［18，34）内的概率，∴60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失为:万元，标准分低于18分的概率，，∴万元故南阳市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有20.考纲要求：1.掌握椭圆、抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单性质2.了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想。试卷第9页，总11页（1）依题意有，而，故，，从而椭圆：.（2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而因而直线与的斜率都存在，分别设为，则由于，设直线的斜率为，则，代入椭圆方程并化简得设，则从而.同理有，从而有从而为定值.21．考纲要求：了解函数单调性与导数关系，能利用导数研究函数单调性，会求函数单调区间。（1）定义域为：，当时，.试卷第10页，总11页∴在时为减函数；在时为增函数.（2）记，则在上单增，且.∴.∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.①在时，在上单增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点；③在时，由可知在时有唯一的一个极小值.若，，无零点；若，，只有一个零点；若时，，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.22.考纲要求：1.能在极坐标系中给出简单图形的方程，理解方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。解：（1）曲线1C的直角坐标方程为22(1)1xy，即2220xxy，将cossinxy代入并化简得曲线1C的极坐标方程为2cos，由2cossin，两边同时乘以，得22cossin，将cossinxy代入得曲线2C的直角坐标方程为2xy．试卷第11页，总11页（2）设射线:(0)lykxx≥的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，且tan(1,3]k．联立2cos，得12cosOA，联立2cossin，得22sincosOB所以122sin2cos2tan2(2,23]cosOAOBk，即OAOB的取值范围是(2,23]23．考纲要求：1.会用不等式证明一些简单问题，能利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值。