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高三文数第1页南阳一中2019年春期高三第20次考试文数试题第I卷（选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1．集合的子集个数为A．4B．5C．16D．322．在复平面内，复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平行四边形ABCD中，，若E为线段AB中点，则A．B．1C．D．24.若函数有且仅有两个不同零点，则b的值为A．B．C．D.不确定5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，公差为d，则“﹣1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为A．B．C．D．7．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为A．B．C．D．8．函数的递增区间是A．（）B．（）高三文数第2页C．（）D．（）9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．10．已知函数,则的值等于A．B．C．D．11．已知函数是奇函数，当时，，则的解集是A．B．C．D．12．定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是A．B．C．D．第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。13．已知，则=______．14．△的内角，，的对边分别为，，，已知△的面积为，，则______．15．设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．16．若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分。17．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.（1）求，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.高三文数第3页18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．Ⅰ六月份这种饮料一天的需求量不低于300瓶的概率；Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶当时，写出Y关于n的函数，并估计这种进货量亏损的概率有多大．19．已知平面多边形中，，，，，，为的中点，现将三角形沿折起，使.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.20．已知椭圆C：的离心率为，，分别为椭圆C的左、右焦点，点满足．求椭圆C的方程；直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为，k，，且，k，成等比数列，求的值．高三文数第4页21．已知函数f（x）＝ex﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．选考题；共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。22．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与轴和轴分别交于，两点，为曲线上的动点，求面积的最大值.23．已知函数．作出函数的图象；若不等式的解集是实数集R，求的取值范围．高三文数第5页南阳一中2019年春期高三第20次考试文数参考答案1-5:CACBB6-12:CBCDDAC13．-414．15．161217．（1）由题意，.设公差为，公比为，则，解得.故；.（2）因为，所以，故.18．前三年六月份各天最高气温位于区间的天数为，六月份这种饮料一天的需求量不低于300瓶的概率为．当最高温度不低于25时，，当最高温度位于区间时，，当最高气温低于20时，．前三年六月份各天最高气温低于20的天数为，亏损的概率．19．解：（1）取的中点，连.∵为中点，∴为的中位线，∴.又，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.高三文数第6页（2）由题意知为等腰直角三角形，为直角梯形.取中点，连接，，∵，∴，∵，，，∴平面，∴平面，∵平面，∴.∴在直角三角形中，，，∴，∴三角形为等边三角形.取的中点，则，，，∴平面，，∵为的中点，∴到平面的距离等于到平面的距离的一半，∴.20．解：依题意，，即，，，椭圆C的方程为，设直线l的方程为，，，由，得，则，，，k，成等比数列，，则，即，解得故．21．（1）解：f′（x）＝ex﹣ax．∵函数f（x）＝ex有两个极值点．∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．高三文数第7页x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴．因此+＞2成立．22．（1）由，得的参数方程为（为参数）由，得直线的直角坐标方程为（2）在中分别令和可得：，高三文数第8页设曲线上点，则到距离：，其中：，当，所以面积的最大值为23．（1）将去掉绝对值转化为分段函数，作出它的图象如图1所示．（2）如图2，点的坐标为，“不等式的解集是实数集”等价于“对都成立”，等价于“函数图象上所有的点都在直线的上方或在直线上”，等价于或或，整合三类情形得．在平面直角坐标系中作出不等式组表示的可行域，如图3所示．记即，直线，经过时，纵截距最大，，从图形可知，截距的取值范围是，所以的取值范围是．