河南省鹤壁市浚县第二高级中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题（PDF）

高二数学试题卷第1页（共4页）21届高二上期入学测试数学试题一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是()A．数列1，2，3，4，…是一个摆动数列B．数列2，3，6，8可以表示为{2，3，6，8}C．{}na和na是相同的概念D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的2．数列7，9，11，…，21n的项数是()A．3nB．2nC．1nD．n3．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是()A．14斤B．15斤C．16斤D．17斤4．已知等差数列{}na的前n项和2nSnn，则过1(1,)Pa，2(2,)Qa两点的直线的斜率是()A．1B．2C．3D．45．在等差数列{}na中，234534aaaa，2552aa，且42aa，则5a()A．11B．12C．13D．146．若数列{}na是公差为1的等差数列，则数列212{2}nnaa是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列7．已知在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，60A，43b，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是()A．043aB．6aC．43a或6aD．043a高二数学试题卷第2页（共4页）8．在钝角ABC中，已知3AB，1AC，30B，则ABC的面积是()A．34B．32C．32D．349．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足cos(3)cosbCacB，若4BCBA，则ac的值为()A．9B．10C．11D．1210．已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，223coscos20AA，7a，6c，则b()A．5B．6C．7D．811．某人要做一个三角形，要求它的三条高线的长度分别是113，111，15，则此人将()A．不能做出满足条件的三角形B．做出一个锐角三角形C．做出一个直角三角形D．做出一个钝角三角形12．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若22222222aacbbbca，则ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知ABC中，30B，23AB，2AC，则ABC的面积是．14．已知数列{}na满足2123(*)naaaannN，则na________．15．.线段AB外有一点C，60ABC，200ABkm，汽车以80/kmh的速度由A向B行驶，同时摩托车以50/kmh的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．16．等差数列{}na中，67SS，78SS，给出下列命题：①0d，②96SS，③7a是各项中最大的项，④7S是nS中最大的值，⑤{}na为递增数列．其中正确命题的序号是________．高二数学试题卷第3页（共4页）三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{}na的前n项和为nS，且满足11a，1(1)(1)(*)2nnnnnSnSnN．（1）求2a的值；（2）求数列{}na的通项公式．18．（本小题满分12分）在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为32a的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且30ADB，30BDC，60DCA，45ACB，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．19．（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ABC的面积为23sinaA．（1）求sinsinBC；（2）若6coscos1BC，3a，求ABC的周长．高二数学试题卷第4页（共4页）20．（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且232coscossin()sincos()25ABBABBAC．（1）求cosA的值；（2）若42a，5b，求向量BA在BC方向上的投影．21．（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知274sincos222ABC，7c．]（1）若5ab，求ABC的面积；（2）求ab的最大值，并判断此时ABC的形状．22．（本小题满分12分）已知na是递增数列，其前n项和为nS，11a，且10(21)(2)nnnSaa，*nN．（1）求数列na的通项na；（2）是否存在*,,mnkN，使得2()mnkaaa成立？若存在，写出一组符合条件的,,mnk的值；若不存在，请说明理由；（3）设32nnnba，若对于任意的*nN，不等式1251111(1)(1)(1)3123nmbbbn≤恒成立，求正整数m的最大值．21届高二上期入学测试数学试题答案一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．A3．B4．B5．C6．C7．C8．A9．D10．A11．D12．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．23或314．an＝1，n＝1，n2n－12，n≥2，n∈N*.15．16．①②④三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）由11a，把1n代入1(1)(1)(*)2nnnnnSnSnN，得2121SS，21123SS，2212aSa。（2）由1(1)(1)(*)2nnnnnSnSnN，得1112nnSSnn，所以数列{}nSn是首项为1，公差为12的等差数列，1(1)2nSnn，1(1)2nSnn。当2n时，111(1)(1)22nnnaSSnnnnn，而11a满足nan，故数列{}na的通项公式为nan18．解：解法一：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°．所以AD＝CD＝AC＝32a．在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BDsin∠BCD＝CDsin∠DBC，所以BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝32a·6＋2422＝3＋34a，在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝34a2＋3＋34a2－2·32a·3＋34a·32＝38a2，所以AB＝64a．解法二：在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BCsin30°＝CDsin45°，则BC＝CDsin30°sin45°＝64a，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC，所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝64a．19.20.解:由232coscossinsincos25ABBABBAC,得3cos1cossinsincos5ABBABBB,即3coscossinsin5ABBABB,则3cos5ABB,即3cos5A由3cos,05AA,得4sin5A,由正弦定理,有sinsinabAB,所以,sin2sin2bABa.由题知ab,则AB,故4B.根据余弦定理,有2223425255cc,解得1c或7c(舍去).故向量BA在BC方向上的投影为2cos2BAB#21.解：⑴由274sincos222ABC，得72[1cos()]cos22ABC，2722cos(2cos1)2CC，2(2cos1)0C，1cos2C；0C，3C由余弦定理得27()3253ababab，∴6ab，∴133sin22ABCSabC⑵∵2212sin3cRC，22122(sinsin)[sinsin()]33abRABAA22133(cossin)27sin()3226AAA；203A，5666A，∴当62A，即3A时，ab的最大值为27，此时ABC为等边三角形22．解:（Ⅰ）11110(21)(2)aaa，得2112520aa，解得12a，或112a．由于11a，所以12a．因为10(21)(3)nnnSaa，所以210252nnnSaa.故221111101010252252nnnnnnnaSSaaaa，整理，得22112()5()0nnnnaaaa，即11()[2()5]0nnnnaaaa．因为na是递增数列，且12a，故10nnaa，因此152nnaa．则数列na是以2为首项，52为公差的等差数列.所以512(1)(51)22nann.（Ⅱ）满足条件的正整数,,mnk不存在，证明如下：假设存在*,,mnkN，使得2()mnkaaa，则15151(51)2mnk．整理，得3225mnk，①，显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数,,mnk不存在．（Ⅲ）313(51)21222nnnnbann，不等式1251111(1)(1)(1)3123nmbbbn≤可转化为531m≤3121231111123nnbbbbbbbbn4682213572123nnn．设468221()3572123nfnnn，则46822241(1)357212325468221()3572123nnfnnnnnfnnn2423242325(23)(25)nnnnnnn222242424241244161541616(24)nnnnnnnnnn.所以(1)()fnfn，即当n增大时，()fn也增大．要使不等式1251111(1)(1)(1)3123nmbbbn≤对于任意的*nN恒成立，只需min5()31mfn≤即可．因为min4145()(1)3155fnf，所以5453115m≤.即43112448151515m≤.所以，正整数m的最大值为8．