河南省2020届高三数学尖子生11月诊断性检测试题 文（PDF）

第1页共4页第2页共4页文科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合1{|0}xAxx−=，{|lg(31)}Bxyx==−，则()UAB=A．(0,1]B．1(0,]3C．1(,1]3D．1(,]3−2．已知aR，复数2i3iaz−=+（i为虚数单位），若z为纯虚数，则a=A．23B．23−C．6D．6−3．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40～50岁年龄段应抽取的人数是A．7B．8C．9D．104．下列函数中，在区间(0,)+上单调递增的是A．3xy−=B．0.5logyx=C．21yx=D．12xyx+=+5．已知抛物线24yx=的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A、B两点，若||3||AFBF=，则||AB=A．4B．92C．132D．1636．已知π1tan()43−=−，则πsin(2)2sin(π)cos(π)2+−−+=A．75B．15C．15−D．31257．设变量x、y满足约束条件20240240xyxyxy+−−+−−，且zkxy=+的最大值为12，则实数k的值为A．2−B．3−C．2D．38．在△ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若1a=，23c=，πsinsin()3bAaB=−，则sinC=A．37B．217C．2112D．57199．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为A．27πB．28πC．29πD．30π10．函数||13cose6xyx=−的大致图象是11.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F，直线:3lyx=与C交于A,B两点，AF,BF的中点分别为M,N，若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为A．33−B．231−C．32+D．31+12.在△ABC中，8AB=,6AC=,60A=,M为△ABC的外心，若AMABAC=+,,R，则43+=A．34B．53C．73D．83二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知{}na为等比数列，若33a=,512a=，则7a=．14．若函数()2cos(2)cos2(0)2fxxx=++的图象过点(0,1)M，则()fx的值域为．15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着第3页共4页第4页共4页广泛的应用，其定义为：1,(,,)()0,0,1[0,1]qqxpqpppRxx===当都是正整数是既约真分数当或上的无理数，若函数()fx是定义在R上的奇函数，且对任意x都有(2)()0fxfx−+=，当[0,1]x时，()()fxRx=，则18()(lg30)5ff+=．16．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，E、F、G分别是1DD、AB、BC的中点，过点E、F、G的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几何体的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）某学校为了解学生假期参与志愿服务活动的情况，随机调查了30名男生，30名女生，得到他们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表（单位：人）：（1）能否有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关？（2）以这60名学生参与志愿服务活动时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机抽查10名学生，试估计这10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数．附：2()PKk0.0500.0100.00122()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++k3.8416.63510.82818．（12分）已知数列{}na是等差数列，其前n项和为nS，且35a=，4237Sa−=；数列{}nb为等比数列，且12ba=，49bS=．（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）若nnnacb=，设数列{}nc的前n项和为nT，求证：113nT．19．（12分）如图，已知四边形ABCD为梯形，//ABCD，90CBA=，四边形ACFE为矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，又ABBCCFa===，2CDa=．（1）求证：DEBF⊥；（2）求点E到平面BDF的距离．20．（12分）已知点5(2,)3M在椭圆2222:1(0)xyEabab+=上，1A,2A分别为E的左、右顶点，直线1AM与2AM的斜率之积为59−,F为椭圆的右焦点，直线9:2lx=．（1）求椭圆E的方程；（2）直线m过点F且与椭圆E交于B,C两点，直线2BA、2CA分别与直线l交于P,Q两点．试问：以PQ为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由．21．（12分）已知函数()ln(1)1fxxxaxx=−−−，aR．（1）当1a=−时，求曲线()yfx=在点(1,(1))Mf处的切线方程；（2）当1a时，求证：函数()()1gxfx=+恰有两个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]（10分）以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是6sin4cos=+，直线l的参数方程是4cos3sinxtyt=+=+，（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M、N两点，且||43MN=，求直线l的倾斜角．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()|31||32|fxxx=+−+的最大值为m,,,abc均为正实数，且abcm++=．（1）求证：1119abc++；（2）求证：3abc++．超过1小时不超过1小时男228女1416第1页共5页文科数学答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112BACDDACBCADC二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.4814.[3,32−15.15−16.3119144a三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17.（12分）解：（1）作出列联表如下（单位：人）：超过1小时不超过1小时合计男22830女141630合计362460………………………………2分则2260(2216148)404.44362430309K−==，………………………………4分所以23.841K，………………………………5分所以有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间超过1小时与性别有关.…6分（2）根据以上数据，学生一周参与志愿服务活动时间超过1小时的概率为：363605p==，………………………………8分故估计这10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数为：31065=（人）.………………………………12分第2页共5页18.（12分）解：（1）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q，由35a=，4237Sa−=，可得，111254343()72adadad+=+−+=，…………………………2分解得：112ad==，所以21nan=−.……………………………4分所以，13b=，481b=，故34127bqb==，3q=，3nnb=.…………………………6分（2）由（1）可得，213nnnnancb−==，则1231111135(21)3333nnTn=++++−，①2341111111135(23)(21)333333nnnTnn+=++++−+−，②①-②得，12341211111112222(21)3333333nnnTn+=+++++−−，……………8分所以211111(1)21122(1)332[](21)13333313nnnnnTn−++−+=+−−=−−，所以113nnnT+=−，…………………………10分因为nN，所以103nn+，1113nnnT+=−，…………………………11分又0nc，所以121133nTT=−=，所以113nT.…………………………12分19.（12分）证明：（1）因为ACFE为矩形，AEAC⊥，且平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC=，所以AE⊥平面ABCD，同理CF⊥平面ABCD，故90DCFBCFBAEDAE====，则在Rt△DCF中，5DFa=，在Rt△BCF中，2BFa=，在Rt△ABE中，2BEa=.………………………1分第19题第3页共5页在梯形ABCD中，90CBA=，ABBCa==，2CDa=，所以5BDa=，2ADa=，2ACa=，所以在Rt△DAE中，3DEa=.…………2分所以在△DBE中，5BDa=，2BEa=，3DEa=，可知222BDBEDE=+，故90DEB=，即DEBE⊥；………………………4分在△DEF中，5DFa=，3DEa=，2EFACa==，可知222DFDEEF=+，故90DEF=，即DEEF⊥．………………………5分又BEEFE=，所以DE⊥平面BEF．又BF平面BEF，所以DEBF⊥.………………………6分（2）在△BEF中，2BEBFEFa===，则2233(2)42BEFSaa==.由（1）知，DE⊥平面BEF，故三棱锥DBEF−的体积为:23113133322DBEFBEFVDESaaa−===.……………………………8分在△BDF中，5BDDFa==，2BFa=，则在等腰△BDF中，底边BF上的高为：22232(5)()22aaa−=，则213232222BDFSaaa==.………………………10分设点E到平面BDF的距离为h，故三棱锥EBDF−的体积为:21332EBDFVha−=，根据DBEFEBDFVV−−=，可得23131322haa=，则ha=，所以点E到平面BDF的距离为a．……………………………12分20.（12分）解：（1）由题意可知1(,0)Aa−，2(,0)Aa，则1225525533229(4)9AMAMkkaaa===−+−−，所以2224251,9255,9(4)9aba+==−−解得：3,5,ab==……………………………2分所以椭圆的方程为22195xy+=．……………………………3分E第4页共5页（2）由（1）可知，(2,0)F，当直线m斜率不存在时，易知5(2,)3B，5(2,)3C−，95(,)22P−，95(,)22Q，以PQ为直径的圆的方程为：22925()24xy−+=，此时圆过点(2,0)F，(7,0)R.………4分下面证明以PQ为直径的圆过定点(2,0)F，(7,0)R.当直线m斜率存在时，设:(2)(0)mykxk=−，11(,)Bxy，22(,)Cxy，联立22195(2)xyykx+==−，可得2222(59)3636450kxkxk+−+−=，则21223659kxxk+=+，2122364559kxxk−=+.……………………………5分直线121:(3)3yBAyxx=−−，令92x=，得1139(,)22(3)yPx−，同理可得2239(,)22(3)yQx−.…6分那么1135(,)22(3)yFPx