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书书书数学（理科）试卷注意事项： １．本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分．２．考试时间为１２０分钟，满分１５０分．第Ⅰ卷（选择题共６０分）一、选择题：本题共１２小题；每题５分，共计６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．１．集合犃＝｛狓｜狓２－狓－６＞０｝，犅＝｛狓｜１＜狓＜４｝，则（瓓犚犃）∪犅＝Ａ．（３，４）Ｂ．（１，２］Ｃ．（－２，４）Ｄ．［－２，４）２．复数狕＝３＋４ｉｉ（ｉ为虚数单位），则狕－－｜狕｜在复平面对应的点在Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限３．已知向量犪→＝（犿，２），犫→＝（２－犿，犿－２），且犪→∥（犪→＋犫→），则实数犿的值为Ａ．２Ｂ．－２Ｃ．±２Ｄ．０４．双曲线狓２犽２＋１２＋狔２犽２－４＝１的焦距是槡Ａ．２２Ｂ．４Ｃ．８Ｄ．与犽有关５．某大型企业为了鼓励大学生创业举办了大学生创业大赛，并对于参赛团队设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、参与奖，获奖团队每队可获得相应金额的奖励，已知获奖人数的分配情况如图所示，奖励金额分别为：特等奖５０万元，一等奖２０万元，二等奖１０万元，三等奖５万元，参与奖１万元，则下列说法不正确的是Ａ．获得参与奖的团队最多Ｂ．获得三等奖的总费用最高Ｃ．平均奖励金额为５．１９万元Ｄ．奖励金额的中位数为１０万元６．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是１６，记事件犃为“向上的点数是奇数”，事件犅为“向上的点数不超过３”，则概率犘（犃∪犅）＝Ａ．１３Ｂ．２３Ｃ．１２Ｄ．５６７．函数犳（狓）＝（ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓）２＋２ｃｏｓ２狓的图像向右平移π４个单位长度后得到函数犵（狓）的图像，则函数犵（狓）在［０，π］上的单调递减区间为页４共 页１第 ）理（学数·）Ⅱ（卷考联测自拟模ＴＮ代时新北河Ａ．３８π，７８［］πＢ．π４，３π［］４Ｃ．０，π［］４，３π４，［］πＤ．０，３８［］π，７８π，［］π８．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将１到２０２０这２０２０个整数中能被３除余２且被５除余２的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛犪狀｝，那么此数列的项数为Ａ．１３３Ｂ．１３４Ｃ．１３５Ｄ．１３６９．某密封三棱柱三视图如图所示，若将内部注入水，且如图所示位置放置时，液面高度为２．当此三棱柱的底面水平放置时，液面的高为Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４３１０．函数犳（狓）＝狓１（）犲ｓｉｎ（３π２－狓）（狓∈－π，［］π）的大致图像 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１１．过椭圆狓２３６＋狔２２７＝１上一点犘分别向圆犆１：（狓＋３）２＋狔２＝４和圆犆２：（狓－３）２＋狔２＝１作切线，切点分别为犕、犖，则｜犘犕｜２＋２｜犘犖｜２的最小值为Ａ．９０Ｂ．１０２Ｃ．１０７Ｄ．１６５１２．已知函数犳（狓）＝｜ｌｏｇ２狓｜－犽狓，狓＞０狓２＋（２－犽）狓＋２，狓≤烅烄烆０有两个零点，则实数犽的取值范围为Ａ．犽＞槡２－２２或犽＝１犲ｌｎ２Ｂ．犽＜槡２－２２或犽＝１犲Ｃ．犽＞槡２－２２Ｄ．犽＜槡２－２２或犽＝１犲ｌｎ２第Ⅱ卷二、填空题：本题共４小题，每题５分，共计２０分．请把正确答案填写在答题纸相应的位置上．１３．槡狓－２３槡（）狓５二项展开式中的常数项为 ．页４共 页２第 ）理（学数·）Ⅱ（卷考联测自拟模ＴＮ代时新北河１４．甲同学欲将自己的６本课本（语文、数学、英语、物理、化学、政治）在书架上排成一排，则事件：“语文或数学排在中间”的概率为 ．１５．在△犃犅犆中，角犃、犅、犆的对边分别为犪、犫、犮，若ｃｏｓ２犃＝ｃｏｓ２犆－ｓｉｎ２犅，则ｃｏｓ犃取最小值时，犮犫＝ ．１６．已知正四面体的中心与球心犗重合，正四面体的棱长为槡２６，球的半径为槡５，则正四面体表面与球面的交线的总长度为 ．三、解答题：本题共６小题，共计７０分．１７．（本小题满分１２分）已知数列｛犪狀｝为等比数列，其前狀项和为犛狀，且犛３＝１４，犛６＝１２６．（１）求数列｛犪狀｝的通项公式；（２）若数列｛犫狀｝满足犫狀＝犛狀＋ｌｏｇ２１犪狀，求数列｛犫狀｝的前狀项和犜狀．１８．（本小题满分１２分）如图，在以犘为顶点，母线长为槡２的圆锥中，底面圆犗的直径犃犅长为２，犆是圆犗所在平面内一点，且犃犆是圆犗的切线，连接犅犆交圆犗于点犇，连接犘犇，犘犆．（１）求证：平面犘犃犆⊥平面犘犅犆；（２）若犈是犘犆的中点，连接犗犈，犈犇，当二面角犅－犘犗－犇的大小为１２０°时，求平面犘犃犆与平面犇犗犈所成锐二面角的余弦值．１９．（本小题满分１２分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月犃，犅两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了１００人，发现样本中犃，犅两种支付方式都不使用的有５人，样本中仅使用犃和仅使用犅的学生的支付金额分布情况如下：页４共 页３第 ）理（学数·）Ⅱ（卷考联测自拟模ＴＮ代时新北河（１）从全校学生中随机抽取１人，估计该学生上个月犃，犅两种支付方式都使用的概率；（２）从样本仅使用犃和仅使用犅的学生中各随机抽取１人，以犡表示这２人中上个月支付金额大于１０００元的人数，求犡的分布列和数学期望；（３）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用犃的学生中，随机抽查３人，发现他们本月的支付金额都大于２０００元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用犃的学生中本月支付金额大于２０００元的人数有变化？说明理由．２０．（本小题满分１２分）设抛物线犆：狓２＝２狆狔（狆＞０）过点（２，１）．（１）求抛物线犆的标准方程；（２）若直线犾交曲线犆于犕、犖两点，分别以点犕、犖为切点作曲线犆的切线相交于点犘，且两条切线垂直，求三角形犕犖犘面积的最小值．２１．（本小题满分１２分）已知函数犳（狓）＝犪狓犲狓＋１２狓２－狓．（１）求函数犳（狓）的单调区间；（２）犪＞１时，讨论函数犳（狓）的零点个数． 请考生在第２２、２３二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．２２．（本小题满分１０分）选修４－４：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线犆：狓＝２ｃｏｓα狔＝ｓｉｎ烅烄烆α（α为参数），以犗为极点，狓轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）写出曲线犆的极坐标方程；（２）若犃（ρ１，θ），犅（ρ２，θ＋π２）是曲线犆上的两点，求极点犗到直线犃犅的距离．２３．（本小题满分１０分）选修４－５：不等式选讲已知函数犳（狓）＝｜狓－１｜＋｜狓－２｜．（１）若对于任意的狓，犳（狓）≥｜犿－１｜恒成立，求实数犿的取值范围；（２）记（１）中实数犿最大值为犕，正实数犪，犫，满足犪＋犫＝犕，证明：犪＋犫≥２犪犫．页４共 页４第 ）理（学数·）Ⅱ（卷考联测自拟模ＴＮ代时新北河数学（理科）答案1.【答案】D【解析】2{|60}{|23}RCAxxxxx，则(){|24}RCABxx，故选D.2.【答案】B【解析】34(34)=43iiiziiii，则||=4+3513zzii，在复平面对应点在第二象限，故选B.3.【答案】C【解析】(2,)abm，由a//()ab得24m，所以m=±2，故选C.4.【答案】C【解析】2222+1124xykk，即22221124xykk，则22212+416ckk，所以c=4，则焦距是8.故选C.5.【答案】D【解析】1-1％-5％-15％-35％=44％，故A正确；设获奖团队共有a组，则特等奖总费用为50a×1％=0.5a，一等奖总费用20a×5％=a，二等奖总费用10a×15％=1.5a，三等奖总费用5a×35％=1.75a，参与奖总费用a×44％=0.44a，故三等奖总费用最高，故B正确；平均奖励金额为50×1％+20×5％+10×15％+5×35％+1×44％=5.19，故C正确；1％+5％+15％=21％，1％+5％+15％+35％=56％，故奖励金额的中位数为5万，故D不正确.所以选D.6.【答案】B【解析】AB=“向上的点数为1，2，3，5”，故 ，故选B.7.【答案】A【解析】22()(sincos)2cos=sin2cos22fxxxxxx，即()2sin(2)24fxx，所以()2sin(2)24gxx，72[,]444x，所以当32[,]422x，即37[,]88x时()gx单调递减.故选A.8.【答案】A【解析】由数能被3除余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数，故an=2+(n-1)15=15n-13，由1513=2020nan，得813515n，nN，故此数列的项数为：135．故选C.9.【答案】C【解析】设三棱柱底面面积为S，水的体积为V，当此三棱柱的底面水平放置时，液面的高为h，则344VSSh，得=3h，故选C.10.【答案】C【解析】3sin()coscos211()()=()xxxfxxxxeee，为奇函数，排除A,B，coscoscos()sin(1sin)xxxfxexxeexx，()0,()02ff，排除D，故选C.11.【答案】A【解析】 ߝ =22221212||42(||1)||2||6PFPFPFPF根据椭圆定义12||||=212PFPFa，设2||[3,9]PFt，则222222||2||(12)263241383(846)PMPNtttttt，当=4t时取到最小值90.故选A.12.【答案】D【解析】令22|log|,0()22,0xxgxxxx，问题可转化为()gxkx有两个不等实根，即()ygx与ykx有两个交点，作出()ygx图像：设过原点的直线与2logyx的切点为020(,log)xx，斜率为01ln2x，则切线方程为20001log()ln2yxxxx，把 0,0 代入，可得201logln2x，即0xe，∴切线斜率为1eln2，设222yxx与ykx相切，则2(2)20xkx，2=(2)80k，得222k，由图可得实数k的取值范围为1222=eln2kk或.故选D.13.【答案】－80【解析】11555536215532()(2)(2)rrrrrrrxTCxxCxx，当3r时常数项为-80.14.【答案】35【解析】基本事件总数为66A，“语文或数学排在中间”的对立事件为“语文和数学均不排在中间”，基本事件数为2444AA，故“语文或数学排在中间”的概率24446631=5AAPA15.【答案】1【解析】因为22cos2cossinACB，得22212sincossinACB，即2222sinsinsinACB，由正弦定理得2222abc，所以2222211cos=()2442bcabcbcAbcbccb，当且仅当=bccb，即=1cb时取等号.16.【答案】 【解析】设正四面体为A-BCD，球O与每个面相交的交线均为三段圆弧，棱长为 的正四面体外接球半径为R，D，则OH=1.又3126223GH，所以3OG，又5OF，所以在RT△OGF中，得2GFGE，从而2GFGEGH，所以90EHF，所以每个截面对应的圆弧对应圆心角和为360°－270°=90°，在△OHF中，得22512FHOFOH，所以正四面体表面与球面的交线的总长度恰为一个半径为2的圆，故周长为4π.17