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书书书【２０２０届高三·数学（文）试题·第１ 页（共４页）】数学（文）·（３－２）（试卷总分１５０分 考试时间１２０分钟）题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分合分人复分人得分第Ⅰ卷（选择题 共６０分）得分评卷人一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．已知复数ｚ的共轭复数为ｚ，且（２－ｉ）ｚ＝３＋ｉ（ｉ为虚数单位），则｜ｚ｜＝（ ）槡槡 Ａ．２ Ｂ．２ Ｃ．２６ Ｄ．４２．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｙ＝２－槡ｘ｝，Ｂ＝Ｎ，则Ａ∩Ｂ＝（ ）Ａ．｛１，２｝Ｂ．｛０，１｝Ｃ．［０，２］Ｄ．｛０，１，２｝３．已知ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ１２ｘ，ｘ＞０２ｘ，ｘ≤{０，ａ＝ｆ（ｆ（－２）），ｂ＝２ｌｎπ，ｃ＝ｌｎｃｏｓ５，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系是（ ）Ａ．ａ＞ｂ＞ｃＢ．ｂ＞ｃ＞ａＣ．ｂ＞ａ＞ｃＤ．ｃ＞ａ＞ｂ４．把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运数”，则在１～２０１９这２０１９个数中，能称为“幸运数”的个数是（ ）Ａ．２５１Ｂ．２５０Ｃ．２５２Ｄ．２５３５．函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｘ５（－π２＜ｘ＜π２）的部分图象可以为（ ）!#!#!#!# Ａ Ｂ Ｃ Ｄ６．某市为庆祝建国７０周年，营造一个安全的交通出行环境，方便市民出行，对全市两千多辆出租车的行驶年限进行了调查，现从中随!#!!$!!%&!%$!!’!%$#()&运行年限频率组距机抽出１００辆出租车，已知抽到的出租车的行驶年限都在（０，６］年之间，根据调查结果，得到出租车行驶年限情况的残缺频率分布直方图，如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计出租车行驶年限的中位数大约是（ ）Ａ．３．５Ｂ．３．４Ｃ．３．３Ｄ．３．６７．２ｓｉｎ２０°ｓｉｎ８０°－ｓｉｎ２２０°ｓｉｎ４０°的值为（ ）Ａ．槡３２Ｂ．槡３４槡Ｃ．３Ｄ．１２８．已知单位向量ｅ１，ｅ２，且→ＯＰ＝ｍｅ１＋ｎｅ２（ｍ，ｎ∈Ｒ），若ｅ１⊥ｅ２，｜→ＯＰ｜＝１，则下列式子一定成立的是（ ）Ａ．ｍ＋ｎ＝１Ｂ．ｍｎ＝１Ｃ．ｍ２＋ｎ２＝１Ｄ．ｍｎ＝１２９．如图所示的程序框图，输入ｍ＝２，若输出的值为３２，则判断框内应填入的条件为（ ）开始输入!!!#!#!!#!$%!$%#!#&%结束输出!$否是Ａ．ｎ＞６Ｂ．ｎ＜６Ｃ．ｎ≥６Ｄ．ｎ≤６１０．已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，Ｐ为椭圆上一点，且∠Ｆ１ＰＦ２＝６０°，若坐标原点Ｏ到直线ＰＦ１距离是槡３ａ８，且椭圆的焦距为槡２７，则ａ＝（ ）Ａ．８Ｂ．２Ｃ．４Ｄ．１６１１．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知２ｃｓｉｎＡ＝ａｔａｎＣ，ｃ２＝（ａ－ｂ）２＋２，则ａｂ＝（ ）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４１２．已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线与圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２在第一象限的交点为Ｐ，Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线的左，右焦点，若ｔａｎ∠ＰＦ１Ｆ２＝１３，则双曲线的离心率ｅ（ｅ槡＞２）的值为（ ）槡Ａ．２Ｂ．５Ｃ．３或槡槡５Ｄ．５题号１２３４５６７８９１０１１１２答案第Ⅱ卷（非选择题 共９０分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第１３～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答，第２２～２３题为选考题，考生根据要求作答．得分评卷人二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填在题中横线上．１３．曲线ｆ（ｘ）＝ａｘｅｘ在点（０，ｆ（０））处的切线与抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ＋４相切，则ａ＝ ．１４．已知Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，ａ１＝２，数列｛ｌｏｇ２Ｓｎ｝是公差为２的等差数列，则Ｓ５＝ ．１５．函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ｘ＋｜ｓｉｎ２ｘ｜的最小正周期为 ．１６．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，底面ＡＢＣ是以ＡＣ为斜边的等腰直角三角形，ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，当其外接球的表面积为２５２π，且Ｐ点到底面ＡＢＣ的距离为ＡＣ时，则侧面ＰＡＣ的面积为 ．【２０２０届高三·数学（文）试题·第２ 页（共４页）】得分评卷人三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．１７．（１２分）某市实验中学数学教研组，在高三理科一班进行了一次“采用两种不同方式进行答卷”的考试实验，第一种做卷方式：按从前往后的顺序依次做；第二种做卷方式：先做简单题，再做难题．为了比较这两种做卷方式的效率，选取了５０名学生，将他们随机分成两组，每组２５人．第一组学生用第一种方式，第二组学生用第二种方式，根据学生的考试分数（单位：分）绘制了茎叶图如图所示． （１）若１２０分（含１２０分）以上为优秀，根据茎叶图估计两种做卷方式的优秀率； （２）设５０名学生考试分数的中位数为ｍ，根据茎叶图填写下面的２×２列联表：超过中位数ｍ的人数不超过中位数ｍ的人数合计第一种做卷方式第二种做卷方式合计根据列联表，能否有９９％的把握认为两种做卷方式的效率有差异？附：Ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ．Ｐ（Ｋ２≥ｋ０）０．０５００．０１００．００１ｋ０３．８４１６．６３５１０．８２８第一种答题方式第二种答题方式!#$%$$$&$’$(%%&%&%’’’)$))’)(!**###$&%$$&%’!$%&)(&*!!(#)*#!!!!!!!!!!!!#１８．（１２分）正项数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且２ａｎＳｎ＝ａ２ｎ＋４（ｎ∈Ｎ）． （１）证明：数列｛Ｓ２ｎ｝为等差数列； （２）求使Ｓｎ－ａｎ≥槡２２０１９成立的ｎ的最小值．【２０２０届高三·数学（文）试题·第３ 页（共４页）】１９．（１２分）如图，在直三棱柱ＡＢＣ－ＤＥＦ中，ＡＣ＝ＢＣ＝２，ＡＢ槡＝２２，ＡＤ＝４，Ｍ，Ｎ分别为ＡＤ，ＣＦ的中点． （１）求证：ＡＮ⊥平面ＢＣＭ； （２）设Ｇ为ＢＥ上一点，且ＢＧ＝３４ＢＥ，求点Ｇ到平面ＢＣＭ的距离．!#$%&’()２０．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋２３ｘ３－３２ｘ２＋３，ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ），ｆ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导数． （１）求证：ｇ′（ｘ）在区间［０，１］上存在唯一零点；（其中，ｇ′（ｘ）为ｇ（ｘ）的导数） （２）若不等式ｇ（ｘ）≥３ｘ２＋（ａ－３）ｘ＋１在［１，＋∞）上恒成立，求实数ａ的取值范围．【２０２０届高三·数学（文）试题·第４ 页（共４页）】２１．（１２分）已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（０＜ｐ＜４）的焦点为Ｆ，准线ｌ与ｘ轴交于点Ｍ，过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点，点Ａ在第一象限． （１）若ＡＦ＝４，ＡＭ槡＝２７，求直线ＡＢ的方程； （２）若ｐ＝２，点Ｑ为准线ｌ上任意一点，求证：直线ＱＡ，ＱＦ，ＱＢ的斜率成等差数列． 请考生在第２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．２２．（１０分）【选修４－４ 坐标系与参数方程】在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝ｓｉｎβ＋ｃｏｓβｙ＝ｓｉｎ２{β（β为参数），以坐标原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线ｌ的极坐标方程为ρ＝６槡３ｃｏｓθ－ｓｉｎθ． （１）求曲线Ｃ的普通方程和直线ｌ的直角坐标方程； （２）已知点Ｍ是曲线Ｃ上的任意一点，求点Ｍ到直线ｌ的距离的最小值．２３．（１０分）【选修４－５ 不等式选讲】已知ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０． （１）若ａｂｃ＝ａ＋ｂ＋ｃ，求证：ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ≥９； （２）若ａ＋ｂ＋ｃ＝３，求证：ｂ２ａ＋ｃ２ｂ＋ａ２ｃ≥３． 你选做的题目是 题（填２２、２３）答案：书书书１ 数学（文） 数学（文）参考答案１．Ｂ（解析：∵（２－ｉ）ｚ＝３＋ｉ，∴ｚ＝３＋ｉ２－ｉ，则｜ｚ｜＝｜ｚ｜＝３＋ｉ２－ｉ＝槡１０槡５槡＝２，故选Ｂ．）２．Ｄ（解析：∵Ａ＝｛ｘ｜ｙ＝２－槡ｘ｝＝（－∞，２］，Ｂ＝Ｎ，∴Ａ∩Ｂ＝｛０，１，２｝，故选Ｄ．）３．Ｃ（解析：由题设知，ａ＝ｆ（ｆ（－２））＝ｆ（１４）＝ｌｏｇ１２１４＝２，∵ｌｎπ＞１，∴ｂ＝２ｌｎπ＞２，又０＜ｃｏｓ５＜１，∴ｃ＝ｌｎｃｏｓ５＜０，则ｂ＞ａ＞ｃ，故选Ｃ．）４．Ｃ（解析：设两个连续奇数为２ｎ－１，２ｎ＋１（ｎ∈Ｎ），则它们的平方差为（２ｎ＋１）２－（２ｎ－１）２＝８ｎ（ｎ∈Ｎ），故“幸运数”即为能被８整除的正整数，在１～２０１９这２０１９个数中，幸运数组成一个首项为８，公差为８的等差数列，末项为２０１６，设共有ｍ个幸运数，则２０１６＝８＋（ｍ－１）·８，解得，ｍ＝２５２，故选Ｃ．）５．Ａ（解析：∵ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｘ５，∴函数ｆ（ｘ）是奇函数，则图象关于原点对称，则排除Ｂ、Ｄ，又ｆ′（ｘ）＝１ｃｏｓ２ｘ－５ｘ４，∴ｆ′（０）＝１，则排除Ｃ，故选Ａ．）６．Ｂ（解析：由频率分布直方图知，数据位于［１，２）的频率为１－（０．０８＋０．１２＋０．１６＋０．２０＋０．３０）＝０．１４，∴前三个矩形的面积之和为０．０８＋０．１４＋０．１６＝０．３８，则中位数位于区间［３，４），设中位数ｘ，则０．３８＋（ｘ－３）×０．３０＝０．５，解得，ｘ＝３．４，故选Ｂ．）７．Ａ（解析：２ｓｉｎ２０°ｓｉｎ８０°－ｓｉｎ２２０°ｓｉｎ４０°＝ｓｉｎ２０°（２ｓｉｎ８０°－ｓｉｎ２０°）２ｓｉｎ２０°ｃｏｓ２０°＝２ｓｉｎ８０°－ｓｉｎ２０°２ｃｏｓ２０°＝２ｓｉｎ（６０°＋２０°）－ｓｉｎ２０°２ｃｏｓ２０°＝槡３ｃｏｓ２０°＋ｓｉｎ２０°－ｓｉｎ２０°２ｃｏｓ２０°＝槡３２，故选Ａ．）８．Ｃ（解析：∵→ＯＰ＝ｍｅ１＋ｎｅ２，∴→ＯＰ２＝ｍ２ｅ１２＋ｎ２ｅ２２＋２ｍｎｅ１·ｅ２，∵ｅ１，ｅ２是单位向量且ｅ１⊥ｅ２，｜→ＯＰ｜＝１，∴１＝ｍ２＋ｎ２，故选Ｃ．）９．Ｃ（解析：由程序框图知，ｍ＝２，ｉ＝４，ｎ＝２ｍ＝３，ｉ＝３，否ｎ＝３，ｍ＝５，ｉ＝２，否ｎ＝４，ｍ＝９，ｉ＝１，否ｎ＝５，ｍ＝１７，ｉ＝０，否ｎ＝６，ｍ＝３３，ｉ＝－１，是，输出结果３２，结束程序，故选Ｃ．）１０．Ｃ（解析：过Ｏ，Ｆ２作直线ＰＦ１的垂线，垂足为Ａ，Ｂ，则ＯＡ∥Ｆ２Ｂ，由题设知，ＯＡ＝槡３ａ８，∵Ｏ是Ｆ２Ｆ１的中点，∴Ｆ２Ｂ＝槡３ａ４，在Ｒｔ△ＰＢＦ２中，∵∠Ｆ１ＰＦ２＝６０°，∴ＰＦ２＝Ｆ２Ｂｓｉｎ６０°＝ａ２，由椭圆的定义知，ＰＦ１＝３２ａ，在△ＰＦ２Ｆ１中，由余弦定理得，（２ｃ）２＝（３２ａ）２＋（１２ａ）２－２×３２ａ·１２ａ·ｃｏｓ６０°，化简得，１６ｃ２＝７ａ２，又椭圆的焦距为槡２７，∴ｃ槡＝７，则ａ＝４，故选Ｃ．）１１．Ｂ（解析：由正弦定理及２ｃｓｉｎＡ＝ａｔａｎＣ得，２ｓｉｎＣｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡｓｉｎＣｃｏｓＣ，∵ｓｉｎＣ≠０，ｓｉｎＡ≠０，∴ｃｏｓＣ＝１２，则Ｃ＝π３，∴由余弦定理得，ｃ２＝ａ２＋ｂ２－ａｂ，又ｃ２＝（ａ－ｂ）２＋２，∴ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂ＋２，即ａ２＋ｂ２－ａｂ＝ａ２＋ｂ２－２ａｂ＋２，∴ａｂ＝２，故选Ｂ．）１２．Ｄ（解析：由ｙ＝ｂａｘｘ２＋ｙ２＝ａ{２得，Ｐ（ａ２ｃ，ａｂｃ），又Ｆ１（－ｃ，０），则ｔａｎ∠ＰＦ１Ｆ２＝ｋＰＦ１＝ａｂｃｃ＋ａ２ｃ＝ａｂｃ２＋ａ２＝１３，化简得，ｃ４－７ｃ２ａ２＋１０ａ４＝０，即ｅ４－７ｅ２＋１０＝０，解得ｅ２＝５或ｅ２＝２，∵ｅ槡＞２，∴ｅ槡＝５，故选Ｄ．）１３．２或－６（解析：∵ｆ（ｘ）＝ａｘｅｘ，∴ｆ′（ｘ）＝ａｅｘ＋ａｘｅｘ，则曲线ｆ（ｘ）＝ａｘｅｘ在点（０，ｆ（０））处的切线的斜率为ｋ＝ｆ′（０）＝ａ，又切点为（０，０，），∴切线方程为ｙ＝ａｘ，联立ｙ＝ａｘｙ＝ｘ２－２ｘ{＋４得，ｘ２－（２＋ａ）ｘ＋４＝０，∴Δ＝（２＋ａ）２－４×４＝０，解得，ａ＝２或ａ＝－６．）１４．５１２（解析：∵数列｛ｌｏｇ２Ｓｎ｝是公差为２的等差数列，∴ｌｏｇ２Ｓｎ－ｌｏｇ２Ｓｎ－１＝２，即ＳｎＳｎ－１＝４（ｎ≥２），又Ｓ１＝ａ１＝２，∴数列｛Ｓｎ｝是公比为４的等比数列，则Ｓｎ＝２×４ｎ－１，∴Ｓ５＝２×４４＝５１２．）１５．π（解析：∵ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ｘ＋｜ｓｉｎ２ｘ｜＝３ｓｉｎ２ｘ，ｓｉｎ２ｘ≥０ｓｉｎ２ｘ，ｓｉｎ２ｘ{＜０，∴由函数ｆ（ｘ）