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书书书【２０２０届高三·数学（理）试题·第１ 页（共４页）】数学（理）（试卷总分１５０分 考试时间１２０分钟）题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分合分人复分人得分第Ⅰ卷（选择题 共６０分）得分评卷人一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．已知全集为Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－ｘ－２≥０｝，Ｂ＝Ｚ，则（瓓ＲＡ）∩Ｂ＝（ ） Ａ．（２，＋∞） Ｂ．｛－１，０，１，２｝Ｃ．｛０，１，２｝Ｄ．｛０，１｝２．已知复数ｚ＝１－ｉ（ｉ为虚数单位）在复平面内对应的点为Ａ，复数２ｉｚ在复平面内对应的点为Ｂ，则｜ＡＢ｜＝（ ）槡槡 Ａ．２ Ｂ．２２ Ｃ．４ Ｄ．２３．已知ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ１２ｘ，ｘ＞０２ｘ，ｘ≤{０，ａ＝ｆ（ｆ（－２）），ｂ＝２ｌｎπ，ｃ＝ｌｎｃｏｓ５，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系是（ ）Ａ．ａ＞ｂ＞ｃＢ．ｂ＞ｃ＞ａＣ．ｂ＞ａ＞ｃＤ．ｃ＞ａ＞ｂ４．把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运数”，则在１～２０１９这２０１９个数中，能称为“幸运数”的个数是（ ）Ａ．２５１Ｂ．２５０Ｃ．２５２Ｄ．２５３５．函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｘ５（－π２＜ｘ＜π２）的部分图象可以为（ ）!#!#!#!# Ａ Ｂ Ｃ Ｄ!#$%&’()６．为了庆祝建国７０周年，营造城市喜庆气氛，某城市在城市广场上布置了９个大型花坛Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｏ，９个花坛之间有整齐的方格形道路网，每个方格网均为正方形，如图所示，某人在国庆期间参观、欣赏花坛，他从Ａ花坛开始，在道路网中随机地选择一条最短路径，从Ｅ花坛离开，则他经过中心花坛Ｏ的概率是（ ）Ａ．１３Ｂ．２３Ｃ．１４Ｄ．３４７．已知单位向量ｅ１，ｅ２，且→ＯＰ＝ｍｅ１＋ｎｅ２（ｍ，ｎ∈Ｒ），若ｅ１⊥ｅ２，｜→ＯＰ｜＝１，则下列式子一定成立的是（ ）Ａ．ｍ＋ｎ＝１Ｂ．ｍｎ＝１Ｃ．ｍ２＋ｎ２＝１Ｄ．ｍｎ＝１２８．如图所示的程序框图，输入ｍ＝２，若输出的值为３２，则判断框内应填入的条件为（ ）开始输入!!!#!#!!#!$%!$%#!#&%结束输出!$否是Ａ．ｎ＞６Ｂ．ｎ＜６Ｃ．ｎ≥６Ｄ．ｎ≤６９．若各项均为正数的数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ满足ａ２ｎ＋１＝２Ｓｎ＋ｎ＋２（ｎ∈Ｎ），且２ａ２＋ａ８＝１５，则Ｓ１０＝（ ）Ａ．５４Ｂ．６６Ｃ．６８Ｄ．７５１０．已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线与圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２在第一象限的交点为Ｐ，Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线的左，右焦点，若ｔａｎ∠ＰＦ１Ｆ２＝１３，则双曲线的离心率ｅ（ｅ槡＞２）的值为（ ）槡Ａ．２Ｂ．５Ｃ．３或槡槡５Ｄ．５１１．已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，给出以下结论：①ｆ（ｘ）的最大值为２；②ｆ（ｘ）的最小正周期为２π；③若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］是减函数，则ａ的最大值是π４；④ｆ（ｘ）的图象与ｇ（ｘ）槡＝２ｓｉｎ（ｘ＋３π４）的图象重合．则正确结论的个数为（ ）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４１２．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，底面ＡＢＣ是钝角三角形，且ＡＢ＝ＡＣ＝２，Ｓ△ＡＢＣ槡＝３，二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的度数为６０°，则三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的外接球的表面积为（ ）Ａ．１９πＢ．１９π３Ｃ．４３π３Ｄ．６７π３题号１２３４５６７８９１０１１１２答案第Ⅱ卷（非选择题 共９０分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第１３～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答，第２２～２３题为选考题，考生根据要求作答．得分评卷人二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填在题中横线上．１３．曲线ｆ（ｘ）＝ａｘｅｘ在点（０，ｆ（０））处的切线与抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ＋４相切，则ａ＝ ．１４．已知Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，ａ１＝２，数列｛ｌｏｇ２Ｓｎ｝是公差为２的等差数列，则ａ６＝ ．【２０２０届高三·数学（理）试题·第２ 页（共４页）】!#$%１５．如图，用ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ五个不同的元件连接成了一个系统，当ａ，ｂ中至少有一个正常工作且ｃ，ｄ，ｅ中至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知ａ，ｂ正常工作的概率都是０．８，ｃ，ｄ，ｅ正常工作的概率依次是０．９、０．８、０．９，则系统能正常工作的概率为 （保留两位有效数字）．１６．已知椭圆ｘ２４＋ｙ２２＝１，Ｏ为坐标原点，若点Ａ在直线ｙ＝２上，点Ｂ在椭圆上，且ＯＡ⊥ＯＢ，当线段ＡＢ的长度最小时，直线ＡＢ的倾斜角为 ．得分评卷人三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．１７．（１２分）在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ａ２＋ｃ２－ｂ２ａ２＋ｂ２－ｃ２＝槡３３ｔａｎＣ． （１）求Ｂ； （２）如图，Ｄ为△ＡＢＣ外一点，若在平面四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｄ＝２∠Ｂ，且ＡＤ＝１，ＣＤ＝２，ＢＣ槡＝７，求ｃｏｓ∠ＢＣＤ．!#$１８．（１２分）如图，在直三棱柱ＡＢＣ－ＤＥＦ中，ＡＣ＝ＢＣ＝２，ＡＢ槡＝２２，ＡＤ＝４，Ｍ，Ｎ，Ｇ分别为ＡＤ，ＣＦ，ＥＦ的中点． （１）求证：ＡＮ⊥平面ＢＣＭ； （２）求二面角Ｃ－ＢＭ－Ｇ的余弦值．!#$%&’()【２０２０届高三·数学（理）试题·第３ 页（共４页）】１９．（１２分）已知圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝ｒ２（ｒ＞０），点Ａ（１，０），Ｂ（４，０），过点Ａ的直线交圆Ｃ于Ｍ，Ｎ两点． （１）若直线ＭＮ过抛物线ｘ２＝－４ｙ的焦点Ｆ，且｜ＭＮ槡｜＝１４，求圆Ｃ的方程； （２）若ｒ＝２，求证：∠ＭＢＡ＝∠ＮＢＡ．２０．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋２３ｘ３－３２ｘ２＋３，ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ），ｆ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导数． （１）求证：ｇ′（ｘ）在区间［０，１］上存在唯一零点；（其中，ｇ′（ｘ）为ｇ（ｘ）的导数） （２）若不等式ｇ（ｘ）≥３ｘ２＋（ａ－３）ｘ＋１在［１，＋∞）上恒成立，求实数ａ的取值范围．【２０２０届高三·数学（理）试题·第４ 页（共４页）】２１．（１２分）三伏（ＤｏｇＤａｙ）是初伏、中伏和末伏的统称，是一年中最热的时节，每年出现在阳历７月中旬到８月中旬，其气候特点是气温高、气压低、湿度大、风速小；２０１９年超长“三伏”天来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增；某市福康冷饮销售公司，抓住机遇进行促销；公司通过随机抽样的方式，得到其１００家加盟超市３天内进货总价的统计结果如下表所示：组别（单位：百元）［２０，４０）［４０，６０）［６０，８０）［８０，１００）［１００，１２０）［１２０，１４０］频数３１１２０２７２６１３ （１）由频数分布表大致可以认为，被抽查超市３天内进货总价Ｗ～Ｎ（μ，２０２），μ近似为这１００家超市３天内进货总价的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求Ｐ（１１８．６＜Ｗ≤１３２．８）； （２）在（１）的条件下，该公司为增加销售额，特别为这１００家超市制定如下抽奖方案：①令ｍ表示“超市３天内进货总价超过μ的百分点”，其中ｍ＝Ｗ－μμ×１００，若ｍ∈［０，１５），则该超市获得１次抽奖机会；ｍ∈［１５，３０），则该超市获得２次抽奖机会；ｍ∈［３０，４５），则该超市获得３次抽奖机会；ｍ∈［４５，６０），则该超市获得４次抽奖机会；ｍ≥６０，则该超市直接获得１８００元奖金；另外，规定３天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会；②每次抽奖中奖获得的奖金金额为８８０元，每次抽奖中奖的概率为２５．设超市Ａ参加了抽查，且超市Ａ在３天内进货总价Ｗ＝１３６．２百元，记ξ（单位：元）表示超市Ａ获得的奖金总额，求ξ的分布列与数学期望．附参考数据与公式：槡２０２≈１４．２，若Ｗ～Ｎ（μ，σ２），则Ｐ（μ－２σ＜Ｗ≤μ＋２σ）＝０．９５４５，Ｐ（μ－３σ＜Ｗ≤μ＋３σ）＝０．９９７３． 请考生在第２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．２２．（１０分）【选修４－４ 坐标系与参数方程】在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝ｓｉｎβ＋ｃｏｓβｙ＝ｓｉｎ２{β（β为参数），以坐标原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线ｌ的极坐标方程为ρ＝６槡３ｃｏｓθ－ｓｉｎθ． （１）求曲线Ｃ的普通方程和直线ｌ的直角坐标方程； （２）已知点Ｍ是曲线Ｃ上的任意一点，求点Ｍ到直线ｌ的距离的最小值．２３．（１０分）【选修４－５ 不等式选讲】已知ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０． （１）若ａｂｃ＝ａ＋ｂ＋ｃ，求证：ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ≥９； （２）若ａ＋ｂ＋ｃ＝３，求证：ｂ２ａ＋ｃ２ｂ＋ａ２ｃ≥３． 你选做的题目是 题（填２２、２３）答案：书书书１ 数学（理） 数学（理）参考答案１．Ｄ（解析：∵Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－ｘ－２≥０｝＝（－∞，－１］∪［２，＋∞），∴瓓ＲＡ＝（－１，２），又Ｂ＝Ｚ，∴（瓓ＲＡ）∩Ｂ＝｛０，１｝，故选Ｄ．）２．Ｂ（解析：由题设知，Ａ（１，－１），∵ｚ＝１－ｉ，∴２ｉｚ＝２ｉ１－ｉ＝－１＋ｉ，∴Ｂ（－１，１），则｜ＡＢ槡｜＝２２，故选Ｂ．）３．Ｃ（解析：由题设知，ａ＝ｆ（ｆ（－２））＝ｆ（１４）＝ｌｏｇ１２１４＝２，∵ｌｎπ＞１，∴ｂ＝２ｌｎπ＞２，又０＜ｃｏｓ５＜１，∴ｃ＝ｌｎｃｏｓ５＜０，则ｂ＞ａ＞ｃ，故选Ｃ．）４．Ｃ（解析：设两个连续奇数为２ｎ－１，２ｎ＋１（ｎ∈Ｎ），则它们的平方差为（２ｎ＋１）２－（２ｎ－１）２＝８ｎ（ｎ∈Ｎ），故“幸运数”即为能被８整除的正整数，在１～２０１９这２０１９个数中，幸运数组成一个首项为８，公差为８的等差数列，末项为２０１６，设共有ｍ个幸运数，则２０１６＝８＋（ｍ－１）·８，解得，ｍ＝２５２，故选Ｃ．）５．Ａ（解析：∵ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｘ５，∴函数ｆ（ｘ）是奇函数，则图象关于原点对称，则排除Ｂ、Ｄ，又ｆ′（ｘ）＝１ｃｏｓ２ｘ－５ｘ４，∴ｆ′（０）＝１，则排除Ｃ，故选Ａ．）６．Ｂ（解析：由图形知，此人从Ａ花坛开始，在道路网中随机地选择一条最短路径，从Ｅ花坛离开，所有最短路径共６条，其中，经过中心花坛Ｏ的共４条．∴所求概率为Ｐ＝４６＝２３，故选Ｂ．）７．Ｃ（解析：∵→ＯＰ＝ｍｅ１＋ｎｅ２，∴→ＯＰ２＝ｍ２ｅ１２＋ｎ２ｅ２２＋２ｍｎｅ１·ｅ２，∵ｅ１，ｅ２是单位向量且ｅ１⊥ｅ２，｜→ＯＰ｜＝１，∴１＝ｍ２＋ｎ２，故选Ｃ．）８．Ｃ（解析：由程序框图知，ｍ＝２，ｉ＝４，ｎ＝２ｍ＝３，ｉ＝３，否ｎ＝３，ｍ＝５，ｉ＝２，否ｎ＝４，ｍ＝９，ｉ＝１，否ｎ＝５，ｍ＝１７，ｉ＝０，否ｎ＝６，ｍ＝３３，ｉ＝－１，是，输出结果３２，结束程序，故选Ｃ．）９．Ｂ（解析：因为ａ２ｎ＋１＝２Ｓｎ＋ｎ＋２，当ｎ≥２时，ａ２ｎ＝２Ｓｎ－１＋（ｎ－１）＋２，两式相减：ａ２ｎ＋１－ａ２ｎ＝２ａｎ＋１，即ａ２ｎ＋１＝ａ２ｎ＋２ａｎ＋１＝（ａｎ＋１）２，因为ａｎ＞０，所以ａｎ＋１＝ａｎ＋１，即ａｎ＋１－ａｎ＝１，所以，当ｎ≥２时，｛ａｎ｝是公差ｄ＝１的等差数列．因为２ａ２＋ａ８＝１５即３ａ２＋６＝１５，所以ａ２＝３，所以当ｎ≥２时，ａｎ＝ｎ＋１，当ｎ＝１时，ａ２２＝２ａ１＋１＋２，所以ａ１＝３不适合ａｎ，所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝３，ｎ＝１ｎ＋１，ｎ≥{２．所以Ｓ１０＝３＋３＋４＋５＋…＋１１＝３＋９×１４２＝６６，故选Ｂ．）１０．Ｄ（解析：由ｙ＝ｂａｘｘ２＋ｙ２＝ａ{２得，Ｐ（ａ２ｃ，ａｂｃ），又Ｆ１（－ｃ，０），则ｔａｎ∠ＰＦ１Ｆ２＝ｋＰＦ１＝ａｂｃｃ＋ａ２ｃ＝ａｂｃ２＋ａ２＝１３，化简得，ｃ４－７ｃ２ａ２＋１０ａ４＝０，即ｅ４－７ｅ２＋１０＝０，解得ｅ２＝５或ｅ２＝２，∵ｅ槡＞２，∴ｅ槡＝５，故选Ｄ．）１１．Ｃ（解析：∵ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ槡＝２ｃｏｓ（ｘ＋π４），∴ｆ（ｘ）的最大值为槡２，①错误；最小正周期为２π，②正确；由２ｋπ≤ｘ＋π４≤２ｋπ＋π，ｋ∈Ｚ得，－π４＋２ｋπ≤ｘ≤２ｋπ＋３π４，ｋ∈Ｚ，因此，［－ａ，ａ］［－π４，３π４］，又ａ＞０，∴０＜ａ≤π４，即ａ的最大值是π