方案设计1.(2018•福建A卷•10分)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.【分析】(1)设AB=xm,则BC=(100﹣2x)m,利用矩形的面积公式得到x(100﹣2x)=450,解方程得x1=5,x2=45,然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长;(2)设AD=xm,利用矩形面积得到S=x(100﹣x),配方得到S=﹣(x﹣50)2+1250,讨论:当a≥50时,根据二次函数的性质得S的最大值为1250;当0<a<50时,则当0<x≤a时,根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a2.【解答】解:(1)设AB=xm,则BC=(100﹣2x)m,根据题意得x(100﹣2x)=450,解得x1=5,x2=45,当x=5时,100﹣2x=90>20,不合题意舍去;当x=45时,100﹣2x=10,答:AD的长为10m;(2)设AD=xm,∴S=x(100﹣x)=﹣(x﹣50)2+1250,当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1250;当0<a<50时,则当0<x≤a时,S随x的增大而增大,当x=a时,S的最大值为50a﹣a2,综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250;当0<a<50时,S的最大值为50a﹣a2.【点评】本题考查了二次函数的应用:解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.2.(2018•福建B卷•10分)空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米.(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1,求所利用旧墙AD的长;(2)已知0<α<50,且空地足够大,如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值.【分析】(1)按题意设出AD,表示AB构成方程;(2)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系.【解答】解:(1)设AD=x米,则AB=依题意得,解得x1=10,x2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD的长为10米.(2)设AD=x米,矩形ABCD的面积为S平方米①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得:S=,0<x<a∵0<α<50∴x<a<50时,S随x的增大而增大当x=a时,S最大=50a﹣②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得S=,a≤x<50+当a<25+<50时,即0<a<时,则x=25+时,S最大=(25+)2=当25+≤a,即时,S随x的增大而减小∴x=a时,S最大=综合①②,当0<a<时,﹣()=>,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米当时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等.∴当0<a<时,围成长和宽均为(25+)米的矩形菜园面积最大,最大面积为平方米;当时,围成长为a米,宽为(50﹣)米的矩形菜园面积最大,最大面积为()平方米.【点评】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系.3.(2018·湖南怀化·10分)某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召,绿化校园,计划购进A,B两种树苗,共21棵,已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.(1)求y与x的函数表达式,其中0≤x≤21;(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.【分析】(1)根据购买两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用,即可解答;(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,列出不等式,确定x的取值范围,再根据(1)得出的y与x之间的函数关系式,利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案.【解答】解:(1)根据题意,得:y=90x+70(21﹣x)=20x+1470,所以函数解析式为:y=20x+1470;(2)∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,∴21﹣x<x,解得:x>10.5,又∵y=20x+1470,且x取整数,∴当x=11时,y有最小值=1690,∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵,A种树苗11棵,所需费用为1690元.【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系.4.(2018年湖南省娄底市)“绿水青山,就是金山银山”.某旅游景区为了保护环境,需购买A.B两种型号的垃圾处理设备共10台.已知每台A型设备日处理能力为12吨;每台B型设备日处理能力为15吨;购回的设备日处理能力不低于140吨.(1)请你为该景区设计购买A.B两种设备的方案;(2)已知每台A型设备价格为3万元,每台B型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品,规定货款不低于40万元时,则按9折优惠;问:采用(1)设计的哪种方案,使购买费用最少,为什么?【分析】(1)设购买A种设备x台,则购买B种设备(10﹣x)台,根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15(10﹣x)≥140,求出解集,再根据x为正整数,得出x=1,2,3.进而求解即可;(2)分别求出各方案实际购买费用,比较即可求解.【解答】解:(1)设购买A种设备x台,则购买B种设备(10﹣x)台,根据题意,得12x+15(10﹣x)≥140,解得x≤3,∵x为正整数,∴x=1,2,3.∴该景区有三种设计方案:方案一:购买A种设备1台,B种设备9台;方案二:购买A种设备2台,B种设备8台;方案三:购买A种设备3台,B种设备7台;(2)各方案购买费用分别为:方案一:3×1+4.4×9=42.6>40,实际付款:42.6×0.9=38.34(万元);方案二:3×2+4.4×8=41.2>40,实际付款:41.2×0.9=37.08(万元);方案三:3×3+4.4×7=39.8<40,实际付款:39.8(万元);∵37.08<38.04<39.8,∴采用(1)设计的第二种方案,使购买费用最少.【点评】本题考查了一次函数的应用,一元一次不等式的应用,分析题意,找到合适的不等关系是解决问题的关键.5.(2018湖南湘西州12.00分)某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.(1)求y关于x的函数关系式;(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0<a<200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.【分析】(1)根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式;(2)根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围,再结合(1)所求函数解析式及一次函数的性质求解可得;(3)据题意得y=(400+a)x+500(100﹣x),即y=(a﹣100)x+50000,分三种情况讨论,①当0<a<100时,y随x的增大而减小,②a=100时,y=50000,③当100<m<200时,a﹣100>0,y随x的增大而增大,分别进行求解.【解答】解:(1)根据题意,y=400x+500(100﹣x)=﹣100x+50000;(2)∵100﹣x≤2x,∴x≥,∵y=﹣100x+50000中k=﹣100<0,∴y随x的增大而减小,∵x为正数,∴x=34时,y取得最大值,最大值为46600,答:该商店购进A型34台、B型电脑66台,才能使销售总利润最大,最大利润是46600元;(3)据题意得,y=(400+a)x+500(100﹣x),即y=(a﹣100)x+50000,33≤x≤60①当0<a<100时,y随x的增大而减小,∴当x=34时,y取最大值,即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大.②a=100时,a﹣100=0,y=50000,即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时,均获得最大利润;③当100<a<200时,a﹣100>0,y随x的增大而增大,∴当x=60时,y取得最大值.即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大.【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用,解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况.6.(2018•山东济宁市•7分)绿水青山就是金山银山”,为保护生态环境,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A15957000B101668000(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元;(2)在人均支出费用不变的情况下,为节约开支,两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,则有哪几种分配清理人员方案?【解答】解:(1)设清理养鱼网箱的人均费用为x元,清理捕鱼网箱的人均费用为y元,根据题意,得:,解得:,答:清理养鱼网箱的人均费用为2000元,清理捕鱼网箱的人均费用为3000元;(2)设m人清理养鱼网箱,则(40﹣m)人清理捕鱼网箱,根据题意,得:,解得:18≤m<20,∵m为整数,∴m=18或m=19,则分配清理人员方案有两种:方案一:18人清理养鱼网箱,22人清理捕鱼网箱;方案二:19人清理养鱼网箱,21人清理捕鱼网箱.7.(2018·湖北省恩施·10分)某学校为改善办学条件,计划采购A.B两种型号的空调,已知采购3台A型空调和2台B型空调,需费用39000元;4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元;(2)若学校计划采购A.B两种型号空调共30台,且A型空调的台数不少于B型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过217000元,该校共有哪几种采购方案?(3)在(2)的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?【分析】(1)根据题意可以列出相应的方程组,从而可以解答本题;(2)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以求得有几种采购方案;(3)根据题意和(2)中的结果,可以解答本题.【解答】解:(1)设A型空调和B型空调每台各需x元、y元,,解得,,答:A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元;(2)设购买A型空调a台,则购买B型空调(30﹣a)台,,解得,10≤a≤12,∴a=10.11.12,共有三种采购方案,方案一:采购A型空调10台,B型空调20台,方案二:采购A型空调11台,B型空调19台,方案三:采购A型空调12台,B型空调18台;(3)设总费用为w元,w=9000a+6000(30﹣a)=3000a+180000,∴当a=10时,w取得最小值,此时w=210000,即采购A型空调10台,B型空调20台可使总费用最低,最低费用是210000元.【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和不等式的思想解答.8.(2018•贵州铜仁•12分)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张,并且每买1张办公桌必须买