赣粤湘三省六校2020届高三数学4月联考试题 理（PDF）

2020届赣湘粤三省六校2月联考理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设集合2|9Axx，|2140Bxxx，则BACR)(（）A.43xxB.321xxC.43xxD.321xx2.i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若1zi，则zizi（）A.2B.2C.i2D.i23.设2019log2020a，2020log2019b，120192020c，则,,abc的大小关系是()A.cbaB.cabC.abcD.acb4.已知数列{}na为等比数列，nS为等差数列{}nb的前n项和，且21a，1016a，66ab，则11S（）A.44B.-44C.88D.-885.若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|2a＋b|＝()A.2B.223C.32D.226.将函数()3sin2cos2()fxxxxR的图象向左平移()0mm个单位长度后得到函数)(xgy的图象，若()gx的图象关于y轴对称，则m的最小正值是（）A.12B.6C.3D.657.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A.6B.1log232C.3log232D.1log328.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP。该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题模块。某人在这六个模块学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（）A.60B.192C.240D.4329.函数22sin()cosxxfxxx在[2,2]上的图象大致为（）A.B.C.D.10.如图,抛物线:与圆:交于,两点,点为劣弧上不同于,的一个动点,与轴平行的直线交抛物线于点,则的周长的取值范围是()A.(10,12）B.(10,14）C.(9,11）D.(12,14）11.如图所示，正四面体ABCD中,E是棱AD的中点,P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是（）A.12B.32C.8D.2412.已知函数，若函数在区间上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.2,1B.）,2(C.,3ln2-11D.2ln-113,2二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.6)12(xx的展开式中，3x项的系数是14.已知定义在R上的奇函数()fx，满足(1)(1)fxfx，当01x时，2()logfxx，则944ff的值为15.数列{}na满足*12122...4()2nnnaananN，则数列{}na的前n项和nT16.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12,,FF过点1F且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于,AB两点，22,AFBF分别交y轴于,PQ两点，若2PQF的周长为12，则ab取最大值时，该双曲线的离心率为三、解答题（共70分，解答应些出文字说明证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且)sin()sin(sinBACAB．（1）求角；（2）若，求的最大值．18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCDE中，平面BCDE平面ABC，,3,23,30BEECBCABABC.（1）求证：ACBE；（2）若二面角BACE为45，求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值．19.（本小题满分12分）从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件,测量这些产品的一项质量指标值(记为Z),由测量结果得如下频率分布直方图:(1)公司规定:当95Z时,产品为正品;当95Z时,产品为次品,公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利90元;若是次品,则亏损30元,记为生产一件这种产品的利润,求随机变量的分布列和数学期望;(2)由频率分布直方图可以认为,Z服从正态分布），（2N,其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差2s(同一组中的数据用该区间的中点值作代表).①利用该正态分布,求;②某客户从该公司购买了500件这种产品,记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数,利用①的结果,求E(X).附:.若,则，20.（本小题满分12分）已知椭圆013222ayaxC：的右焦点F到左顶点的距离为3.(1).求椭圆C的方程；(2).设O为坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不在x轴上），若OBOAOE,延长AO交椭圆于点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()lnxefxxxx.（1）求()fx的最大值；（2）若1()()1xfxxebxx恒成立，求实数b的取值范围.22.【选修4—4：坐标系与参数方程】已知曲线1C的参数方程为2cos3sinxy(为参数)，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()14．（1）求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）射线OM：()2与曲线1C交于点M，射线ON：4与曲线2C交于点N，求2211OMON的取值范围．23.【选修4—5：不等式选讲】已知实数正数x,y满足1yx．（1）解关于x的不等式252yxyx；（2）证明：9)11)(1122yx（2020届赣湘粤三省六校2月联考理科数学答案一、选择题：1-4、CABA5-8、CBDC9-12、DAAC二、填空题:13、24014、215、1n21-2）（16、233三、解答题：17.解:（1）因为，所以，………1分所以，………3分所以，………4分因为，故，………5分又因为，所以；………6分（2）由（1）得，………7分由正弦定理有，………8分所以，………9分所以，其中，………11分由，存在使得，所以的最大值为1，所以的最大值为．………12分18.（Ⅰ）证明：在中，，所以,所以．…………………2分因为平面平面,平面平面,,所以平面．………………………………4分又因为平面，所以．…………6分（Ⅱ）因为平面，平面，所以．又,平面平面,所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．……………………………………………8分因为,所以平面．所以是直线与平面所成的角．…………10分因为在中，，所以在中，．…………12分（Ⅱ）另解：因为平面，平面，所以．又,平面平面,所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．……………8分即为等腰，过E作则O为BC中点，取AB中点F，连接OF则如图建系则设平面EAC的一个法向量为,,由………………………………10分又,直线AB与平面ACE所成的角为则………………………………………………12分19.解：(1)由频率估计概率,产品为正品的概率为,……2分所以随机变量的分布列为:所以.……4分(2)由频率分布直方图知,抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差分别为,……6分,……8分①因为,从而.……10分②由①知,一件产品中该项质量指标值位于区间内的概率为,依题意知,所以.……12分20.解：(1)由已知得32b，3ca，222cba所以所求椭圆C的方程为.13422yx.............4分(2)解法1：因为过)0,1(F的直线与椭圆C交于BA,两点(BA,不在x轴上)所以设1:tyxl,由,0964313412222tyytyxtyx.............5分设),(),(2211yxByxA、,则439436221221tyyttyy,.............6分因为,OBOAOEAOBE为平行四边形，.............7分所以AOBOGBAOBEAGBESSSS3,431184)(2323222122121ttyyyyyy.............9分令,13181318,1122mmmmSmt得.............11分由函数的单调性易得当1m,即0t时，29maxS..............12分解法2：因为OBOAOE,所以AOBE为平行四边形，.............5分所以AOBOGBAOBEAGBESSSS3当直线AB的斜率不存在时,293AOBAGBESS...........6分当直线AB的斜率存在时，设为),1(xky由09634134)1(22222kkyykyxxky.............7分设),(),(2211yxByxA、,则3493462221221kkyykkyy.............8分所以34184)(232332242122121kkkyyyyyySSAOBAGBE.............10分令3342mk,得,291213292mmS.............11分综上可知，29maxS.............12分21．解:(1)()lnxefxxxx，定义域(0,)，............1分221(1)(1)()()1xxexxxefxxxx，............2分由1xexx，()fx在(0,1]增，在(1,)减，max()(1)1fxfe............4分(2)1()()e1xfxxbxxeelne1xxxxxxbxxxlne10xxxxbxeln1xxxxbxmineln1(),xxxxbx............6分令eln1()xxxxxx，2ln()xxexxx............7分令2()lnxhxxex，()hx在(0,)单调递增，0,()xhx，(1)0he()hx在(0,1)存在零点0x，即02000()ln0xhxxex............9分0001ln2000000ln1ln0(ln)()xxxxxexxeexx，由于xyxe在(0,)单调递增，故0001lnln,xxx即001xex()x在0(0,)x减，在0(,)x增，000000min00eln111()2xxxxxxxxx............11分所以2b.............12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程23xcosysin(为参数)得：2222cossin123xy，即曲线1C的普通方程为22123xy，又cos,sinxy，曲线1C的极坐标方程为22223cos2sin6，即222cos26.............2分曲线2C的极坐标方程可化为sincos2，故曲线2C的直角方程为20xy.............4分（2）由已知，设点M和点N的极坐标分别为1,