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２０１９年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷数 学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本试卷共５页.满分１５０分.考试时间１２０分钟.注意事项:１.答题前ꎬ考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.２.考生作答时ꎬ将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答ꎬ超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.３.选择题答案使用２Ｂ铅笔填涂ꎬ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号ꎻ非选择题答案使用０５毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写ꎬ字体工整、笔迹清楚.４.保持答题卡卡面清洁ꎬ不折叠、不破损.考试结束后ꎬ将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共１２小题ꎬ每小题５分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.１已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ＋５０}ꎬＢ＝{ｘ｜ｌｎｘ０}ꎬ则Ａ∩(ＲＢ)＝Ａ－５ꎬ０(] Ｂ－５ꎬ１() Ｃ１ꎬ５[) Ｄ－５ꎬ１(]２已知复数ｚ满足(１－ｉ)ｚ＝４ꎬ则ｚ＝Ａ２－２ｉＢ２＋２ｉＣ４－４ｉＤ４＋４ｉ３函数ｆｘ()＝ｘ＋１ｘæèçöø÷ｃｏｓｘ在－３ꎬ０[)∪０ꎬ３(]的图象大致为４已知ｃｏｓα＋π４æèçöø÷＝３５ꎬα∈０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ则ｓｉｎα＝理科数学试卷 第１页(共５页)Ａ－２１０Ｂ１１０Ｃ２１０Ｄ７２１０５如图ꎬ网格纸上小正方形的边长为１ꎬ粗实线画出的是某几何体的三视图ꎬ其侧视图中的曲线为１４圆周ꎬ则该几何体的体积为Ａ１６πＢ６４－１６πＣ６４－３２３πＤ６４－１６π３６在ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ－２()５的展开式中ꎬｘ的系数为Ａ－３２Ｂ－８Ｃ８Ｄ４８７已知曲线ｙ＝ａｘｌｎｘ在ｘ＝ｅ处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为ｅ２ꎬ则ａ＝Ａ２Ｂ４Ｃ±２Ｄ±４８中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹ꎬ用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术ꎬ蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图ꎬ其中的４个小圆均过正方形的中心ꎬ且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点ꎬ则该点取自黑色部分的概率为Ａ３－２２()π２Ｂπ１６Ｃ３－２２()π４Ｄπ８９已知函数ｆｘ()＝ａｓｉｎωｘ＋ｃｏｓωｘω０()的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π２ꎬ且ｆ０()＋ｆπ６æèçöø÷＝３ꎬ为了得到函数ｇｘ()＝ｓｉｎωｘ－ａｃｏｓωｘ的图象ꎬ只要把ｆｘ()图象上所有的点Ａ向左平移π４个单位长度Ｂ向右平移π４个单位长度Ｃ向左平移π２个单位长度Ｄ向右平移π２个单位长度１０已知直线ｌ过抛物线Ｃ:ｘ２＝６ｙ的焦点Ｆꎬ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ交Ｃ的准线于点Ｐ若ＡＦ→＝ＦＰ→ꎬ则｜ＡＢ｜＝Ａ８Ｂ９Ｃ１１Ｄ１６１１在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ꎬＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝２ꎬＡＢ＝２ꎬＢＣ＝１０ꎬ∠ＡＰＣ＝π２ꎬ则三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的表面积为Ａ８πＢ２８３πＣ１０πＤ３２３π１２已知Ｆ１ꎬＦ２分别是双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ０ꎬｂ０)的左ꎬ右焦点ꎬＡＢ是右支上过Ｆ２的一条理科数学试卷 第２页(共５页)弦ꎬ且Ｆ１Ｆ２→＝λＦ１Ａ→＋μＦ１Ｂ→ꎬ其中λμ＝３１６若ＡＦ１∶ＡＢ＝３∶４ꎬ则Ｃ的离心率是Ａ５２Ｂ５Ｃ１０２Ｄ１０第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第１３~２１题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第２２、２３题为选考题ꎬ考生根据要求作答.二、填空题:本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.１３已知向量ａ＝(１ꎬ２)ꎬｂ＝(－１ꎬｍ)ꎬ若ａ⊥ａ－ｂ()ꎬ则ｍ＝ .１４若ｘꎬｙ满足约束条件ｘ－ｙ≥０ꎬ３ｘ－ｙ－６≤０ꎬｘ＋ｙ－２≥０ꎬìîíïïïï则ｚ＝２ｘ－ｙ的最大值是 .１５△ＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃ已知２ｂｓｉｎＣ＝(２ａ＋ｂ)ｔａｎＢꎬｃ＝２３ꎬ则△ＡＢＣ面积的最大值为 １６已知函数ｆｘ()＝ｘ＋２ꎬｘ≤０ꎬｘ－ｌｎｘꎬｘ０{若存在ｘ１≤０ꎬｘ２０ꎬ使得ｆｘ１()＝ｆｘ２()ꎬ则ｘ１ｆｘ２()的取值范围为 三、解答题:共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第１７~２１题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第２２、２３题为选考题ꎬ考生根据要求作答.(一)必考题:共６０分１７(１２分)已知公差不为零的等差数列ａｎ{}满足:ａ４＝－２ꎬ且ａ６ꎬａ３ꎬａ９成等比数列(１)求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)若ｂｎ＝ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ１８(１２分)如图ꎬ边长为２的菱形ＡＢＣＤ中ꎬＥꎬＦ分别是ＡＢꎬＢＣ的中点ꎬ将△ＤＡＥꎬ△ＤＣＦ分别沿ＤＥꎬＤＦ折起ꎬ使ＡꎬＣ重合于点Ｐ已知点Ｇ在线段ＰＤ上ꎬ且ＰＧＧＤ＝１３(１)证明:ＰＢ∥平面ＥＦＧꎻ(２)若平面ＰＥＦ⊥平面ＤＥＦꎬ求直线ＰＤ与平面ＥＦＧ所成角的正弦值ADEBFCBEPGDF理科数学试卷 第３页(共５页)１９(１２分)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａｂ０)的左ꎬ右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ离心率为１２ꎬＰ是Ｃ上的一个动点ꎬ且△Ｆ１ＰＦ２面积的最大值为４３(１)求Ｃ的方程ꎻ(２)设Ｃ的左ꎬ右顶点分别为ＡꎬＢꎬ若直线ＰＡꎬＰＢ分别交直线ｘ＝２于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｆ１作以ＭＮ为直径的圆的切线证明:切线长为定值ꎬ并求该定值２０(１２分)为推进“千村百镇计划”ꎬ２０１８年４月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动ꎬ首批投放２００台Ｐ型新能源车到莆田多个村镇ꎬ供当地村民免费试用三个月.试用到期后ꎬ为了解男女试用者对Ｐ型新能源车性能的评价情况ꎬ该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表(满分为１００分).最后该公司共收回６００份评分表ꎬ现从中随机抽取４０份(其中男、女的评分表各２０份)作为样本ꎬ经统计得到如下茎叶图:女性试用者评分男性试用者评分８６７８８９５２１７０２２３４５６６７８９８６６５４４３３３０８２４４８３２２２００９１(１)求４０个样本数据的中位数ｍꎻ (２)已知４０个样本数据的平均数ａ＝８０ꎬ记ｍ与ａ的最大值为Ｍ该公司规定样本中试用者的“认定类型”:评分不小于Ｍ的为“满意型”ꎬ评分小于Ｍ的为“需改进型”.①请根据４０个样本数据ꎬ完成下面２×２列联表:认定类型性别满意型需改进型合计女性２０男性２０合计４０根据２×２列联表判断能否有９９％的把握认为“认定类型”与性别有关?②为做好车辆改进工作ꎬ公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法ꎬ从中抽取８人进行回访根据回访意见改进车辆后ꎬ再从这８人中随机抽取３人进行二次试用记这３人中男性人数为Ｘꎬ求Ｘ的分布列及数学期望附:Ｋ２＝ｎ(ａｄ－ｂｃ)２(ａ＋ｂ)(ｃ＋ｄ)(ａ＋ｃ)(ｂ＋ｄ)ꎬＰ(Ｋ２≥ｋ)００５０００１００００１理科数学试卷 第４页(共５页)ｋ３８４１６６３５１０８２８２１(１２分)已知函数ｆｘ()＝ｘｅｘ－１－ａｘ＋１ꎬ其中ａ∈Ｒ(１)当ａ＝０时ꎬ证明:ｆｘ()０ꎻ(２)当ａ０时ꎬ讨论ｆｘ()的零点个数(二)选考题:共１０分请考生在第２２、２３题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做ꎬ则按所做第一个题目计分ꎬ作答时请用２Ｂ铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.２２[选修４－４:坐标系与参数方程](１０分)在直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ直线ｌ的参数方程为ｘ＝２－３ｔꎬｙ＝３ｔ{(ｔ为参数)ꎬ以坐标原点Ｏ为极点ꎬｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系ꎬ曲线Ｃ１的极坐标方程为ρ＝４ｃｏｓθ.(１)求ｌ的极坐标方程和Ｃ１的直角坐标方程ꎻ(２)若曲线Ｃ２的极坐标方程为θ＝π６ꎬＣ２与ｌ的交点为Ａꎬ与Ｃ１异于极点的交点为Ｂꎬ求ＡＢ.２３[选修４－５:不等式选讲](１０分)已知函数ｆ(ｘ)＝２ｘ＋４－ｘ－１.(１)求不等式ｆ(ｘ)≤１的解集ꎻ(２)当ｘ１时ꎬｆ(ｘ)－ｘ２＋ａｘꎬ求ａ的取值范围.理科数学试卷 第５页(共５页)草 稿 纸２０１９年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷理科数学试题参考解答及评分标准评分说明:１.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.２.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分.３.解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数.４.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题５分ꎬ满分６０分.１Ｄ ２Ｂ ３Ａ ４Ｃ ５Ｂ ６Ｃ ７Ｄ ８Ａ ９Ｂ １０Ａ １１Ｄ １２Ｃ二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题５分ꎬ满分２０分.１３３ １４４ １５３ １６－１ꎬ０[]三、解答题:本大题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.１７本小题主要考查等差数列与等比数列、数列求和等基础知识ꎬ考查运算求解能力、推理论证能力ꎬ考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分１２分解:(１)设等差数列ａｎ{}的公差为ｄｄ≠０()由ａ４＝－２ꎬ得ａ１＋３ｄ＝－２ ①１分又ａ６ꎬａ３ꎬａ９成等比数列ꎬ即ａ３２＝ａ６ａ９ꎬ２分所以(ａ１＋２ｄ)２＝(ａ１＋５ｄ)(ａ１＋８ｄ) ②３分由①②ꎬ可得ａ１＝－８ꎬ４分ｄ＝２５分所以数列ａｎ{}的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１０６分(２)由ａｎ＝２ｎ－１０ꎬ得当ｎ≤５时ꎬａｎ≤０ꎻ当ｎ≥６时ꎬａｎ０７分设数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ则Ｓｎ＝ａ１＋ａｎ()ｎ２＝ｎ２－９ｎ８分又ｂｎ＝２ｎ－１０ꎬ故当ｎ≤５时ꎬＴｎ＝－Ｓｎ＝－ｎ２＋９ｎꎬ９分当ｎ≥６时ꎬＴｎ＝｜ｂ１｜＋｜ｂ２｜＋＋｜ｂｎ｜＝－ａ１＋＋ａ５()＋ａ６＋＋ａｎ＝Ｓｎ－２Ｓ５１０分＝ｎ２－９ｎ＋４０１１分所以数列ｂｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ＝－ｎ２＋９ｎꎬｎ≤５ꎬｎ２－９ｎ＋４０ꎬｎ≥６{１２分理科数学试卷答案 第１页(共６页)１８本小题主要考查空间直线与平面的位置关系、空间向量等基础知识ꎬ考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力ꎬ考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等满分１２分解:(１)在菱形ＡＢＣＤ中ꎬ连接ＡＣꎬＢＤꎬ设ＢＤ∩ＥＦ＝ＯꎬＢＤ∩ＡＣ＝Ｍ又ＥꎬＦ分别是ＡＢꎬＢＣ的中点ꎬ所以ＢＯＯＤ＝１３１分