福建省晋江市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二数学上学期期末四校联

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020年高二上学期期末考试联考试卷考试科目：数学满分：150考试时间：120分钟命题者：李德勇审核者：张开春王建清朱坤城许建全一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置.1．复数iiz−=1的共轭复数是（）A．i2121+−B．i2121−−C．i2121+D．i2121−2.抛物线28yx=−的焦点坐标是（）A.()0,2−B.()2,0−C.10,32−D.1,032−3.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百,丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了480钱，乙带了300钱，丙带了220钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（）A.50B.32C.31D.304．“9k”是“曲线19322=−+−kykx为双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知axxxf−+=)12ln()(，且1)2('−=f，则=a（）A．57B．56C．53−D．54−6．已知圆22:(3)1Cxy−+=与双曲线22221(0,0)xyEabab−=:的渐近线相切，且圆心C恰好是双曲线E的一个焦点，则双曲线E的标准方程是()A．B．1222=−yxC．112922=−yxD．1222=−yx7．函数1()ln1fxxx=−−的图象大致是()A．B．C．D．8.设F为抛物线pxy22=的焦点，斜率为)0(kk的直线过F交抛物线于A、B两点，若||4||FBFA=，则直线AB的斜率为（）A.21B.43C.1D.349.已知xaexxf−=2)(在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A.]2,(e−B.)2,(e−C.]2,0(eD.)2,0(e10．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m＋y2＝1(m1)和双曲线x2n－y2＝1(n0)，P是它们的一个交点，则△PF1F2的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化11．利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：(1)以O为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合.问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（）A．425B．625C．825D．2212.已知ABC△为等腰直角三角形，其顶点为,,ABC，若圆锥曲线E以,AB为焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率不．可以是（）A.21−B.22C.2D.21+1322=−yx第Ⅱ卷（非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．命题:p“013,2+−xxRx使”,则它的否定p为:____________________________.14．袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：1324123243142432312123133221244213322334据此估计，直到第二次就停止的概率为____________.15.已知抛物线24Cyx=：的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为_____________________．16.已知函数()()()Raaxxxxxf−+=22ln.若存在3,1x，使得()()xxfxf'成立，则实数a的取值范围是_______________________.三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)已知曲线C：32331)(23+−−=xxxxf（1）求)(xf在点))1(,1(fP处的切线方程；（2）求)(xf在R上的极值.18．(本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AC与BD相交于点E，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD＝1，AB＝3，BC＝3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角A­PC­D的余弦值．19.(本小题满分12分)某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数x；（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间)1.85,2.15=，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？20.(本小题满分12分)已知正方形的边长为4,,EF分别为,ADBC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60的二面角，点M在线段AB上．（1）若M为AB的中点，且直线MF与由EDA,,三点所确定平面的交点为G，试确定点G的位置，并证明直线EMCGD面//；（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60；若存在，求此时ABAM的值，若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知椭圆C：22221xyab＋＝（a＞b＞0）的左右焦点分别为21,FF，点B（0，3）为短轴的一个端点，602=BOF．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过右焦点F2，且斜率为)0(kk的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k．试问k·k是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．22.(本小题满分12分)已知函数21()2lnfxxaxx=−−，aR．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个极值点()1212,xxxx，求()()212fxfx−的最大值．安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020年高二上学期期末考试数学联考试卷参考答案一：选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分.）BCDAABBDDBCC二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.013,2+−xxRx使14.0.315)22,2(16.),45(+三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解析：（1）32)()(2'−−=xxxfxf的导数………………1分3)1(,4)1('−=−=ff又，所以)(xf在点))1(,1(fP处的切线方程为014=−+yx（也可写成14+−=xy）……………4分（2）)3)(1(32)()(2'−+=−−=xxxxxfxf的导数令0)('=xf可得3,121=−=xx……………5分当x变化时，)(),('xfxf的变化如下表x)1,(−−-1)3,1(−3),3(+)('xf+0_0+)(xf递增极大值递减极小值递增……………8分所以)(xf在x=-1处取得极大值37)1(=−f)(xf在x=3处取得极小值325)3(−=f……………10分18.解析：(1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝ADAB＝33，tan∠BAC＝BCAB＝3.………2分∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，………………4分∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.………………………6分(用坐标法各点坐标见（2），条件完整亦给分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)，B(3，0,0)，C(3，3,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，CD→＝(－3，－2,0)，PD→＝(0,1，－2)，BD→＝(－3，1,0)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y,1)，则CD→·n＝0，PD→·n＝0，∴=+−=+02023zyyx，可取,4=x即)3,32,4(−−=n………………8分由(1)知平面PAC的一个法向量为m＝BD→＝(－3，1,0)，………………10分∴cos〈m，n〉＝||||nmnm＝8＋4933×4＝39331，………………………………11分由题意可知二面角A­PC­D为锐二面角，∴二面角A­PC­D的余弦值为39331.……………………………………………12分19.解析：(1)这100人月薪收入的样本平均数x是0.021.70.101.80.241.90.312x=+++0.22.10.092.20.042.32+++=.………5分(2)方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为()0.020.1040050100000.24+=（万元）；月薪落在区间收活动费用约为()0.240.310.2060050100002.25++=（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为()0.090.0480050100000.52+=（万元）；因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）；………………………9分方案二：这50人共收活动费用约为500.033x=（万元）；………………11分故方案一能收到更多的费用.……………………12分20.解析：（1）因为直线MF平面ABFE，故点G在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点G在平面ABFE与平面ADE的交线上（如图所示）………………………………………………………………2分因为BFAG//，M为AB的中点，所以MBFGAM，所以MFGM=，BFAG=，所以点G在EA的延长线上，且2=AG连结DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点…………………4分连结MN，因为MN为DGF的中位线，所以GDMN//，又因为MN平面EMC，所以直线EMCGD面//.…………………5分（2）由已知可得，EFAE⊥，EFDE⊥，所以EF⊥平面ADE，所以GDEABEF平面平面⊥，取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,0,0)E−，(0,0,3)D，(0,4,3)C，(1,4,0)F−，…………………7分所以(1,0,3)ED=，(1,4,3)EC=，设(1,,0)(04)Mtt，则(2,,0)EMt=，设平面EMC的法向量(,,)mxyz=，则2000430xtymEMmECxyz+===++=，取2y=−，则xt=，83tz−=，所以8,2,3tmt−=−，…………………9分DE与平面EMC所成的角为60，所以22832(8)243tt=−++，所以22332419tt=−+，所以2430tt−+=，解得1t=或3t=，…………………11分此时41=ABAM或43=ABAM所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60。……